Thema: Würfelmathe

[Blechpirat]

Hi,

ich kanns nicht ausrechnen, aber ihr vielleicht?

Ich habe 7w6. 5+6 gelten als Erfolge. Es sind zwischen zwei und vier Erfolge nötig, um zu bestehen. Ich kann künftig

a) einen Würfel dazugewinnen (also 8w6 werfen) oder
b) Alle Würfel, die eine Eins zeigen, einmal nachwürfeln.

Wovon profitiere ich mehr? Macht es einen Unterschied, ob ich zwei, drei oder vier Erfolge benötige?

[Master Li]

Die Wahrscheinlichkeit eine 1 mit 7 Würfeln dabei zu haben ist nahezu 100%, mehrere Einsen sind auch sehr wahrscheinlich. Das nochmal würfeln ist das gleiche wie einen Würfel dazu zu nehmen. Daraus folgt:

alle Einsen wiederholen ist besser als einen Würfel mehr zu haben.

[Selganor [n/a]]

Musst du dich vor dem Wurf entscheiden ob du a) oder b) nimmst?

[Blechpirat]

Musst du dich vor dem Wurf entscheiden ob du a) oder b) nimmst?

Es handelt sich um eine Frage, wie ich die XP verbrate. Entweder den Bonuswüfel für den Skill, oder die 1en nachwürfeln. Für immer... [

[Greifenklaue]

Das 1sen Nachwürfeln dürfte im Schnitt in jedem Fall besser sein.

Die Fallwahrscheinlichkeit der gewürfelten Einsen kannst du ja über einfache Binomialverteilung bilden und daraus den erwartungswert bilden bzgl. der Anzahl der Einsen. Rechne ich auch gern zu heute abend aus  

Öhm, mehr als vier erfolge sind aber kein Mißerfolg, oder???

[Blechpirat]

Die Wahrscheinlichkeit eine 1 mit 7 Würfeln dabei zu haben ist nahezu 100%, mehrere Einsen sind auch sehr wahrscheinlich. Das nochmal würfeln ist das gleiche wie einen Würfel dazu zu nehmen. Daraus folgt:

alle Einsen wiederholen ist besser als einen Würfel mehr zu haben.

Das klingt irgendwie richtig. Aber mit solchen Vermutungen täuscht man sich oft. Aber sowas kann man auch ausrechnen, da bin ich sicher. Kann das hier jemand?

[Blechpirat]

Das 1sen Nachwürfeln dürfte im Schnitt in jedem Fall besser sein.

Die Fallwahrscheinlichkeit der gewürfelten Einsen kannst du ja über einfache Binomialverteilung bilden und daraus den erwartungswert bilden bzgl. der Anzahl der Einsen. Rechne ich auch gern zu heute abend aus  

Öhm, mehr als vier erfolge sind aber kein Mißerfolg, oder???

Ich weiß nicht mal, was Binomialverteilung ist. Als das drankam, war mein Mathelehrer krank.

Ne, mehr Erfolge sind völlig unschädlich. Und es ist auch denkbar, dass künftig irgendwann mal mehr als 4 Erfolge nötig sind, um den Wurf zu schaffen. Wenn du das ausrechnen könntest, wäre das echt cool.

Hintergrund: Es ist das John Sinclair System, und es geht um einen Verteidigungswurf. Die Stärke des angreifenden Monsters bestimmt, wieviele Erfolge man benötigt.

[Master Li]

Also:

Die Wahrscheinlichkeit bei 7 Würfeln eine 1 zu bekommen (was einem weiteren Würfel entspricht, da ja nochmal gewürfelt wird):

0 = 28%
1 = 39%
2 = 23%
3 = 08%
4 = 02%
5,6,7 = Rest

Nur zu 28% hat man weniger Würfel als bei der 8w6 Methode. zu 72% ist man gleich oder besser dran (33%)

33 ist mehr als 28, demnach hat man im Schnitt mehr Würfel zur Verfügung. Wie viele Erfolge man braucht ist dabei völlig unerheblich. Und selbst die 0 Einsen sind etwas besser als nur 7 Würfel, da ja die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges dann nicht mehr 1/3 sondern 2/5 ist, da man ja keine eins gewürfelt hat. Ich hoffe das reicht als Berechnung

[Tudor the Traveller]

Auf die Schnelle würde ich so rechnen:

7W6, 5+ = Erfolg: Pro Würfel 1/3 = Erfolg also insgesamt 7/3 für Erfolge, macht 2,3 Erfolge pro Wurf. Bei 8W6 entsprechend 8/3, also  etwa 2,7 Erfolge pro Wurf

7W6, 1en nachwürfeln: 1 fällt zu 1/6, bei 7W also mit 7/6 Wahrscheinlichkeit, etwa 117%, heißt eine 1 ist in der Regel dabei, zu 17% auch zwei 1en. Die Wahrscheinlichkeit für die 1 einen Erfolg zu würfeln ist 1/3. Bei einer gefallenen 1 entspricht das im Prinzip 8W6, es sei denn, man darf 1en auch dann nochmal wiederholen. Durch die 17% mehr 1en pro Wurf ist die Chance aber bei der "1er neu"-Variante höher, weil man sozusagen zu 17% mit 9W6 würfeln darf.

[vanadium]

Die Wahrscheinlichkeit eine 1 mit 7 Würfeln dabei zu haben ist nahezu 100%, mehrere Einsen sind auch sehr wahrscheinlich. Das nochmal würfeln ist das gleiche wie einen Würfel dazu zu nehmen. Daraus folgt:
alle Einsen wiederholen ist besser als einen Würfel mehr zu haben.

A: mit 7W6 mind. eine "1" würfeln. P(A)=1-(5/6)^7 = 72% (bei 20W6 sind wir bei 97%)
so optimistisch wie master li es sieht, ist es zwar nicht ;-) aber ich stimme zu, dass nachwürfeln hier besser ist, als 8W6 zu nehmen.
B: mit 7W6 mind. zweimal "1". P(B) = 33%. (rechnung führt hier zu weit)

Das nochmal würfeln ist das gleiche wie einen Würfel dazu zu nehmen. das stimmt m.E. nicht, denn das nachwürfeln bestimmter ergebnisse und das gleichzeitige werfen einer unterschiedlichen anzahl würfel sind zwei paar stiefel.

[Master Li]

Die korrekten Zahlen habe ich doch schon längst angegeben . Dass es nicht exakt einem zusätzlichen Würfel entspricht, ist mir klar, aber der Vorteil liegt ja auch hier bei dem Einser nochmal würfeln. Insofern ist der Unterschied zu vernachlässigen

[vanadium]

Auf die Schnelle würde ich so rechnen:

7W6, 1en nachwürfeln: 1 fällt zu 1/6, bei 7W also mit 7/6 Wahrscheinlichkeit, etwa 117%, heißt eine 1 ist in der Regel dabei, zu 17% auch zwei 1en.

117% ist sehr viel mehr als 72%... davon abgesehen: wahrscheinlichkeiten liegen per definition zwischen 0%..100% (= sicheres ereignis). nimm mal 7w6 zur hand, würfle und zähl die 1en. in 3 von 10 fällen wird keine dabei sein...

[Greifenklaue]

Da man durchschittlich 1,16667 (also 7/6tel) Einsen würfelt ist man bei 7W6 besser dran als nachwürfeln. Bei 5W6 nicht.

[vanadium]

Die korrekten Zahlen habe ich doch schon längst angegeben . Dass es nicht exakt einem zusätzlichen Würfel entspricht, ist mir klar, aber der Vorteil liegt ja auch hier bei dem Einser nochmal würfeln. Insofern ist der Unterschied zu vernachlässigen

hab für meinen beitrag so lange gebraucht und deine (korrekten) zahlen nicht gelesen gehabt.

[chainsawbeaver]

Also:

Die Wahrscheinlichkeit bei 7 Würfeln eine 1 zu bekommen (was einem weiteren Würfel entspricht, da ja nochmal gewürfelt wird):

0 = 28%
1 = 39%
2 = 23%
3 = 08%
4 = 02%
5,6,7 = Rest

Nur zu 28% hat man weniger Würfel als bei der 8w6 Methode. zu 72% ist man gleich oder besser dran (37%)

37 ist mehr als 28, demnach hat man im Schnitt mehr Würfel zur Verfügung. Wie viele Erfolge man braucht ist dabei völlig unerheblich. Und selbst die 0 Einsen sind etwas besser als nur 7 Würfel, da ja die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges dann nicht mehr 1/3 sondern 2/5 ist, da man ja keine eins gewürfelt hat. Ich hoffe das reicht als Berechnung

Ich denke ich stimme Dir zu, aber was ist die 37%? Ich bin nur verwirrt und Versuche es nachzuvollziehen. Meintest Du vllt 33% für die Fälle wo es mehr als eine 1 gibt?

[Greifenklaue]

117% ist sehr viel mehr als 72%... davon abgesehen: wahrscheinlichkeiten liegen per definition zwischen 0%..100% (= sicheres ereignis). nimm mal 7w6 zur hand, würfle und zähl die 1en. in 3 von 10 fällen wird keine dabei sein...

Mit 117% düfte eigentlich der Erwartungswert (1,17) gemeint gewesen sein, siehe mein letzter Post.

[Greifenklaue]

Ich denke ich stimme Dir zu, aber was ist die 37%? Ich bin nur verwirrt und Versuche es nachzuvollziehen.

Alle Eregnisse minus die Ereignisse null Einsen und eine eins.

[Master Li]

Ich denke ich stimme Dir zu, aber was ist die 37%? Ich bin nur verwirrt und Versuche es nachzuvollziehen.

Zu 33% hast Du 2 oder mehr einsen. Die 37% waren ein Tippfehler

[chainsawbeaver]

Zu 33% hast Du 2 oder mehr einsen. Die 37% waren ein Tippfehler

Ah, Danke.
Hatte es zeitgleich in meinem Beitrag auch noch hinzu editiert.

[Tudor the Traveller]

117% ist sehr viel mehr als 72%... davon abgesehen: wahrscheinlichkeiten liegen per definition zwischen 0%..100% (= sicheres ereignis). nimm mal 7w6 zur hand, würfle und zähl die 1en. in 3 von 10 fällen wird keine dabei sein...

Ich beuge mich natürlich der Korrektheit deiner Aussage  

EDIT: Statistisch sollten aber 1,17 einsen pro Wurf fallen 

[Eulenspiegel]

Einsen nachwürfeln kann man auch betrachten als: "1W5 würfeln und 4+ sind Erfolge."

Mal meine Rechnung:
Mit 8W6 genau k Erfolge zu haben (ohne Einsen nachwürfeln):
P(X=k) = (8 über k) * (1/3)^k * (2/3)^8-k

Mit 8w6 also mindestens 3 Erfolge zu haben:
P(X>=3) = 1-P(X<3) = 1- P(X=0)-P(X=1)-P(X-2)

Mit Einsen nachwürfeln gilt für 7 Würfel:
P₂(X=k) = (7 über k) * (2/5)^k * (3/5)^7-k

Mit 7W6 (und Einsen nachwürfeln) haben wir für 7 Würfel die folgende Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 Erfolge zu erzielen:
P₂(X>=3) = 1-P₂(X<3) = 1- P₂(X=0)-P₂(X=1)-P₂(X-2)

Ich habe momentan leider keinen vernünftigen Rechner hier. Aber ich kann dir heute Abend eine Tabelle posten, wo die konkreten Wahrscheinlichkeiten dann auch als Zahlenwerte dabei sind.

[Selganor [n/a]]

Einsen nachwürfeln kann man auch betrachten als: "1W5 würfeln und 4+ sind Erfolge."

Stimmt nicht ganz, da man scheinbar nur einmal eine Eins nachwuerfeln darf. Wenn der Nachwurf auch eine eins ist bleibt die.

Mal der Test fuer 1d6 (5+ Erfolg): 1/3+1/6*1/3 = 6/18+1/18=7/18 (also 38.88888%)
1d5 (4+ Erfolg) waere 2/5 also 40% (einen Tick mehr)

[Blechpirat]

Stimmt nicht ganz, da man scheinbar nur einmal eine Eins nachwuerfeln darf. Wenn der Nachwurf auch eine eins ist bleibt die.

Ja, das ist richtig.

[SeelenJägerTee]

Auf die Schnelle würde ich so rechnen:

7W6, 5+ = Erfolg: Pro Würfel 1/3 = Erfolg also insgesamt 7/3 für Erfolge, macht 2,3 Erfolge pro Wurf. Bei 8W6 entsprechend 8/3, also  etwa 2,7 Erfolge pro Wurf

7W6, 1en nachwürfeln: 1 fällt zu 1/6, bei 7W also mit 7/6 Wahrscheinlichkeit, etwa 117%, heißt eine 1 ist in der Regel dabei, zu 17% auch zwei 1en. Die Wahrscheinlichkeit für die 1 einen Erfolg zu würfeln ist 1/3. Bei einer gefallenen 1 entspricht das im Prinzip 8W6, es sei denn, man darf 1en auch dann nochmal wiederholen. Durch die 17% mehr 1en pro Wurf ist die Chance aber bei der "1er neu"-Variante höher, weil man sozusagen zu 17% mit 9W6 würfeln darf.

Das ist (falls ich dich nicht völlig missverstanden habe) nicht richtig.

Deine Aussage, dass mit 7/6 (117%) Wahrscheinlichkeit eine 1 Fallen würde KANN überhaupt nicht richtig sein.
Denn wir wissen dass es möglich ist bei 7 Würfeln auch 7 mal die Sechs (oder die 5 oder die 4 oder...) zu würfeln. Somit kann die Wahrscheinlichkeit für 1 gar nicht mehr 100% sein.

Korrekt rechnet sich das folgendermaßen aus:
Wahrscheinlichkeit mit 1 Würfel keine 1 zu würfeln: 5/6
Wahrscheinlichkeit mit n Würfeln keine 1 zu würfeln: (5/6)ⁿ (hier (5/6)⁷ = 0,279 - also in 27,9% aller Fälle hast du keine einzige 1 dabei.)
(Es ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Würfel KEINE 1 zu würfeln. Diese Wahrscheinlichkeiten verhalten sich multiplikativ nicht additiv. Deswegen hast du 5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6 = (5/6)⁷ und NICHT 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 7/6.

[Blechpirat]

Ich habe momentan leider keinen vernünftigen Rechner hier. Aber ich kann dir heute Abend eine Tabelle posten, wo die konkreten Wahrscheinlichkeiten dann auch als Zahlenwerte dabei sind.

Das wäre toll! So in Prozent, damit auch ich mir was darunter vorstellen kann. Hach!

[Chiungalla]

Wichtig für die Betrachtung, und das mach ich mal rein intuitiv ohne Zahlen (wer Lust hat, kann sich gerne die Mühe machen), würde ich den Wiederholungswürfen noch folgende Fallunterscheidung zu gute halten:

Wenn der Wurf gut läuft, dann bringt einem das 1en wiederholen nichts, aber man braucht es auch nicht.

Wenn der Wurf aber kacke läuft, dann sind die Chancen das man 1en dabei hat noch sehr viel höher als hier ausgerechnet, und dann holt man damit vermutlich doch noch mal die Kartoffeln aus dem Feuer.

[Tudor the Traveller]

Das ist (falls ich dich nicht völlig missverstanden habe) nicht richtig.

Du hast Recht, genau wie ich es zuvor schonmal eingeräumt habe. Allerdings nur, wenn man nur einen einzelnen Wurf betrachtet. Über unendlich viele Würfe müsste sich das imo statistisch so ergeben, dass bei 6 Würfeln immer auch eine 1 dabei ist, da es keine bevorzugte Verteilung der Zahlen gibt.

[Greifenklaue]

Ja, eben, der Erwartungswert auf Einsen pro 7W6 wäre 1,17. Und damit besser als ein Würfel dazu.

(Zumal es ja noch eine gewisse Korrelation dazukommt: viele Erfolge, wenig Einsen und wenig Erfolge, viele Einsen. Sprich: ich kann dann zusätzlixch würfeln, wenn iches tendenziell eher brauche.)

[ash70]

Nur zu betrachten wie wahrscheinlich es ist eine Eins zu würfeln vereinfacht das Problem doch ein bisschen, schließlich gibt es jede Menge Fälle in denen einem eine Eins nichts nützt. Zum Beispiel bei einem direkten Erfolg oder wenn einem mehr Erfolge fehlen, als man Einsen gewürfelt hat. Ich hab' nicht die geringste Ahnung wie man das ausrechnen kann, bin mir aber ziemlich sicher, dass das durchaus davon abhängig ist wie viele Erfolge benötigt werden.

Trotzdem denke ich aber auch, dass es besser ist Einsen zu wiederholen als einen zusätzlichen Würfel zu nehmen. In Situationen in denen Dir eine gewürfelte Eins nichts bringt wird Dir auch ein zusätzlicher Würfel nichts bringen und ansonsten hast Du beim Einsen würfeln potentiell mehrere zusätzliche Chancen.

[Eulenspiegel]

Wovon profitiere ich mehr?

Ich bin von dem Ergebnis überrascht. Ursprünglich hatte ich auch gedacht, dass man vom neuwürfeln profitiert. Aber nach dem ausrechnen steht fest: Für 1-4 Erfolge profitiert man vom neuwürfeln und ab 5 Erfolgen profitiert man vom zusätzlichen Würfel.

Jetzt, wo ich die Ergebnisse sehe, erkläre ich es mir wie folgt: Damit du deine 5 Erfolge bekommst, musst du ohne neuwürfeln ja bereits 4 Erfolge angesammelt haben. Das heißt, du hast nur noch 3 Würfel, die kein Erfolg sind. Und bei 3 Würfeln ist es besser, einen neuen Würfel zu werfen, anstatt alle Würfel mit Nichterfolgen neu zu werfen. (Bei 3 Würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit, dass mind. eine Eins dabei ist, nur bei 42%: Wobei 35% nur eine Eins dabei ist und mit 7% mind. 2 Einsen.)

Aber genug der langen Vorrede.
Hier die Tabelle zum Vergleich:

Mindesterfolge	|8W6 ohne neuwürfeln	|7W6 mit neuwürfeln
0	100,0%	100,0%
1	96,1%	96,8%
2	80,5%	82,6%
3	53,2%	55,6%
4	25,9%	26,9%
5	8,8%	8,6%
6	2,0%	1,6%
7	0,3%	0,1%

Wenn du das ganze noch etwas exakter und ausführlicher haben willst, kannst du dir die PDF im Anhang anschauen.

[gelöscht durch Administrator]

[Blechpirat]

Danke. Es sei noch der Hinweis gestattet, dass die Nachwürfel-Option für 30 Erfahrungspunkte, der neue Würfel für 60 zu haben ist.

Ich bin doch immer wieder erstaunt, wie sehr die wirklichen Ergebnisse sich von dem Unterscheiden, was man so denkt. Toll, dass du das ausrechnen konntest.

[SeelenJägerTee]

Danke. Es sei noch der Hinweis gestattet, dass die Nachwürfel-Option für 30 Erfahrungspunkte, der neue Würfel für 60 zu haben ist.

[...]

Äh Nachwürfeln nehmen aber ganz eindeutig.