Thema: [Universalis] Begriffe und Wahrscheinlichkeiten

[Steffen]

Heya Leute,

demnächst steht vermutlich eine Partie Universalis für mich an, und nachdem ich mir das Regelwerk zwischen Weihnachten und Neujahr noch einmal durchgelesen habe, kommen bei mir ein paar Fragen zusammen:

1.
Wie würdet ihr die Begriffe übersetzen? Hauptsächlich interessieren mich diese Begriffe:

Tenet - Grundsatz
Component - Spielelement
Complication - Konflikt
Challenge - Einspruch
Fine - Rüge

Wie seht ihr das?

2.
Die Wahrscheinlichkeiten bei einer Complication sind mir nicht ganz offensichtlich.

Mechanismus:
1. Jede Seite würfelt mit mehreren W10.
2. Würfelergebnisse von 1-5 sind Erfolge.
3. Der erfolgreiche Spieler summiert die Werte seiner Erfolge und erhält entsprechend Münzen.
4. Der Verlierer erhält für jeden Würfel, unabhängig vom Erfolg, eine Münze.

Meine Überlegung, basierend auf Schulwissen:
- Eigentlich wäre es einfach, die Wahrscheinlichkeit auszurechenen: bei 10 w10, die durchschnittlich 1-10 zeigen, würde ein Spieler 1+2+3+4+5 = 15 Münzen kriegen. Das wären 1.5 Münzen pro W10
- Nun erhält aber nur der Gewinner so viele Münzen. Und der Gewinner hat durchschnittlich ein besseres Ergebnis als 5 Erfolge bei 10 Würfeln.
- Wie viele Münzen erhält man als Gewinner also durchschnittlich?

Danke im Voraus,
Leute!

[Dom]

Zu den Wahrscheinlichkeiten:

a) Wenn bei den W10er nur die Würfel zählen, die eine 1-5 zeigen, dann ist der Erwartungswert pro W10 gerade 3. Also: Bei sechs Erfolgen kannst du mit 18 Münzen rechnen.

b) Jetzt kommt die Frage nach den Erfolgen. Angenommen, Seite A würfelt mit aW10, Seite B mit bW10. Wir setzen voraus, dass A gewinnt. Dann gilt: X_A > X_B, d.h. die Anzahl der Erfolge von A ist größer als die von B.

X_A und X_B sind unabhängig voneinander und binomialverteilt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg beträgt 0,5; die Anzahl der Versuche ist a bzw. b. Es gilt also: X_A~b(a,1/2) und X_B~b(b,1/2).

Was wir jetzt ausrechnen müssen ist der bedingte Erwartungswert E := E[ X_A | X_A > X_B], d.h. wie viele Erfolge bekommt A, wenn wir wissen, A hat mehr Erfolge als B. Dazu müssen wir alle möglichen Anzahlen durchgehen und die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen. Genauer:

E = Summe(i = 0..a) i * P[ X_A=i | X_A>X_B ]

Das kann man noch etwas vereinfachen. Dann ergibt sich:

E = Summe(i = 1..a) i * P( X_A=i ) * P( X_B<i ) / P( X_A>X_B )

Dabei gilt:
P(X_A = i) = (a über i) * (1/2)^a
P(X_B < i) = Summe( j = 0 .. i-1 ) (b über j) * (1/2)^b
P(X_A>X_B) = Summe( k = 1 .. a ) P(X_A=k) * P(X_B<k)

Das ist jetzt etwas zeckig auszurechnen. Allgemein kommt man hier wohl nicht mehr weiter. Welche Werte sind denn für a und b von Interesse? D.h. wie viele Würfel wirft man denn so?

[oliof]

Die Anzahl der Würfel hängt von der Wichtigkeit der Elemente ab, die gegeneinander in Konflikt stehen. Im Verlauf des Spieles werden die Zahlen theoretisch immer größer. Bei der Testrunde mit aya_ashmar, Kristian, Max und Thomas sind wir in ein paar Stunden Spielzeit auf niedrige zweistellige Werte (unter/um 20 gekommen).

Wenn man die Münzen nur benutzt, um weitere Fakten zu schaffen, wächst die Anzahl der Würfel stetig an und wird inflationär. Wenn man nur noch einige Elemente mit weiteren Fakten ausbaut, werden diese immer wichtiger für das Spiel. Allerdings gibt es auch die Möglichkeit, mit den Münzen Fakten zu entfernen; sie für das Spiel also zu entwerten. Es gibt also einen Deflationsmechanismus, den man auch benutzen muß.

Darüberhinaus gibt es einen stetigen Zuwachs an Münzen, weil die Spieler in regelmäßigen Abständen neue Münzen bekommen, die sie aber auch für Vetos und Challenges benötigen. Insgesamt könnte das System also leicht inflationär sein – das müssen aber Mathematiker oder BWLer genauer anschauen … Skyrock, Dom?

[Steffen]

Wow, Dom,

danke für die mathematischen Überlegungen!

Meine Überlegung ist folgende:
Wenn ich 10 w10 würfel und mein Gegenüber auch 10 w10, und ich gewinne, wieviele Würfel erhalte ich durchschnittlich?
Entscheidend ist: Wenn ich gewinne, also wenn ich mehr Erfolge würfel als mein Gegenüber, also meist, wenn ich mehr als 5 Erfolge habe. Aber wieviele mehr? das weiss ich nicht.

[Nelly]

Zu den Wahrscheinlichkeiten:

a) Wenn bei den W10er nur die Würfel zählen, die eine 1-5 zeigen, dann ist der Erwartungswert pro W10 gerade 3. Also: Bei sechs Erfolgen kannst du mit 18 Münzen rechnen.

b) Jetzt kommt die Frage nach den Erfolgen. Angenommen, Seite A würfelt mit aW10, Seite B mit bW10. Wir setzen voraus, dass A gewinnt. Dann gilt: X_A > X_B, d.h. die Anzahl der Erfolge von A ist größer als die von B.

X_A und X_B sind unabhängig voneinander und binomialverteilt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg beträgt 0,5; die Anzahl der Versuche ist a bzw. b. Es gilt also: X_A~b(a,1/2) und X_B~b(b,1/2).

Was wir jetzt ausrechnen müssen ist der bedingte Erwartungswert E := E[ X_A | X_A > X_B], d.h. wie viele Erfolge bekommt A, wenn wir wissen, A hat mehr Erfolge als B. Dazu müssen wir alle möglichen Anzahlen durchgehen und die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen. Genauer:

E = Summe(i = 0..a) i * P[ X_A=i | X_A>X_B ]

Das kann man noch etwas vereinfachen. Dann ergibt sich:

E = Summe(i = 1..a) i * P( X_A=i ) * P( X_B<i ) / P( X_A>X_B )

Dabei gilt:
P(X_A = i) = (a über i) * (1/2)^a
P(X_B < i) = Summe( j = 0 .. i-1 ) (b über j) * (1/2)^b
P(X_A>X_B) = Summe( k = 1 .. a ) P(X_A=k) * P(X_B<k)

Das ist jetzt etwas zeckig auszurechnen. Allgemein kommt man hier wohl nicht mehr weiter. Welche Werte sind denn für a und b von Interesse? D.h. wie viele Würfel wirft man denn so?

 

[Dom]

Ich hab mal ein kleines Perl-Script geschrieben und angehängt. Damit kann man alle Erwartungswerte ausrechnen. Benutzung:

Code: [Auswählen]

perl universalis.pl a bDabei ist a die Anzahl der Würfel des Gewinners, b die Anzahl der Würfel des Verlierers. Perl muss natürlich auf dem Rechner installiert sein (unter Linux und MacOS ist das automatisch der Fall, unter Windows muss man das nachinstallieren).

Ich habe mit dem Programm mal die Erwartungswerte ausgerechnet und in folgender Tabelle zusammengefasst:

Code: [Auswählen]

1: 1=1 2=1 3=1 4=1 5=1 6=1 7=1 8=1 9=1 10=1 11=1 12=1 13=1 14=1 15=1 16=1 17=1 18=1 19=1 20=1
2: 1=1.5 2=1.6 3=1.7 4=1.7 5=1.8 6=1.8 7=1.8 8=1.8 9=1.8 10=1.8 11=1.9 12=1.9 13=1.9 14=1.9 15=1.9 16=1.9 17=1.9 18=1.9 19=1.9 20=1.9
3: 1=1.9 2=2.1 3=2.2 4=2.3 5=2.4 6=2.4 7=2.5 8=2.5 9=2.5 10=2.6 11=2.6 12=2.6 13=2.7 14=2.7 15=2.7 16=2.7 17=2.7 18=2.7 19=2.7 20=2.8
4: 1=2.3 2=2.5 3=2.6 4=2.8 5=2.9 6=3 7=3 8=3.1 9=3.2 10=3.2 11=3.3 12=3.3 13=3.4 14=3.4 15=3.4 16=3.4 17=3.5 18=3.5 19=3.5 20=3.5
5: 1=2.7 2=2.9 3=3 4=3.2 5=3.3 6=3.4 7=3.5 8=3.7 9=3.7 10=3.8 11=3.9 12=3.9 13=4 14=4 15=4.1 16=4.1 17=4.1 18=4.2 19=4.2 20=4.2
6: 1=3.2 2=3.3 3=3.4 4=3.6 5=3.7 6=3.9 7=4 8=4.1 9=4.2 10=4.3 11=4.4 12=4.5 13=4.5 14=4.6 15=4.7 16=4.7 17=4.8 18=4.8 19=4.9 20=4.9
7: 1=3.6 2=3.7 3=3.9 4=4 5=4.1 6=4.3 7=4.4 8=4.6 9=4.7 10=4.8 11=4.9 12=5 13=5.1 14=5.2 15=5.2 16=5.3 17=5.4 18=5.4 19=5.5 20=5.5
8: 1=4.1 2=4.1 3=4.3 4=4.4 5=4.5 6=4.7 7=4.8 8=5 9=5.1 10=5.2 11=5.4 12=5.5 13=5.6 14=5.7 15=5.8 16=5.8 17=5.9 18=6 19=6.1 20=6.1
9: 1=4.5 2=4.6 3=4.7 4=4.8 5=4.9 6=5.1 7=5.2 8=5.4 9=5.5 10=5.7 11=5.8 12=5.9 13=6 14=6.1 15=6.2 16=6.3 17=6.4 18=6.5 19=6.6 20=6.7
10: 1=5 2=5.1 3=5.1 4=5.2 5=5.4 6=5.5 7=5.6 8=5.8 9=5.9 10=6.1 11=6.2 12=6.3 13=6.5 14=6.6 15=6.7 16=6.8 17=6.9 18=7 19=7.1 20=7.2
11: 1=5.5 2=5.5 3=5.6 4=5.7 5=5.8 6=5.9 7=6 8=6.2 9=6.3 10=6.5 11=6.6 12=6.8 13=6.9 14=7 15=7.1 16=7.3 17=7.4 18=7.5 19=7.6 20=7.7
12: 1=6 2=6 3=6.1 4=6.1 5=6.2 6=6.3 7=6.5 8=6.6 9=6.7 10=6.9 11=7 12=7.2 13=7.3 14=7.4 15=7.6 16=7.7 17=7.8 18=7.9 19=8 20=8.1
13: 1=6.5 2=6.5 3=6.5 4=6.6 5=6.7 6=6.8 7=6.9 8=7 9=7.1 10=7.3 11=7.4 12=7.5 13=7.7 14=7.8 15=8 16=8.1 17=8.2 18=8.4 19=8.5 20=8.6
14: 1=7 2=7 3=7 4=7.1 5=7.1 6=7.2 7=7.3 8=7.4 9=7.5 10=7.7 11=7.8 12=7.9 13=8.1 14=8.2 15=8.4 16=8.5 17=8.7 18=8.8 19=8.9 20=9
15: 1=7.5 2=7.5 3=7.5 4=7.5 5=7.6 6=7.6 7=7.7 8=7.8 9=7.9 10=8.1 11=8.2 12=8.3 13=8.5 14=8.6 15=8.8 16=8.9 17=9.1 18=9.2 19=9.3 20=9.5
16: 1=8 2=8 3=8 4=8 5=8.1 6=8.1 7=8.2 8=8.3 9=8.4 10=8.5 11=8.6 12=8.7 13=8.9 14=9 15=9.2 16=9.3 17=9.4 18=9.6 19=9.7 20=9.9
17: 1=8.5 2=8.5 3=8.5 4=8.5 5=8.5 6=8.6 7=8.6 8=8.7 9=8.8 10=8.9 11=9 12=9.1 13=9.3 14=9.4 15=9.5 16=9.7 17=9.8 18=10 19=10.1 20=10.3
18: 1=9 2=9 3=9 4=9 5=9 6=9.1 7=9.1 8=9.2 9=9.2 10=9.3 11=9.4 12=9.5 13=9.7 14=9.8 15=9.9 16=10.1 17=10.2 18=10.4 19=10.5 20=10.7
19: 1=9.5 2=9.5 3=9.5 4=9.5 5=9.5 6=9.5 7=9.6 8=9.6 9=9.7 10=9.8 11=9.8 12=9.9 13=10.1 14=10.2 15=10.3 16=10.5 17=10.6 18=10.8 19=10.9 20=11
20: 1=10 2=10 3=10 4=10 5=10 6=10 7=10.1 8=10.1 9=10.1 10=10.2 11=10.3 12=10.4 13=10.5 14=10.6 15=10.7 16=10.9 17=11 18=11.1 19=11.3 20=11.4

Links steht die Anzahl der Würfel, mit denen Spieler A würfelt, in der Zeile steht dann die Anzahl der Würfel, mit denen Spieler B würfelt. Die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen geben an, wie viele Erfolge A im Mittel erreicht, wenn A gegen B gewinnt (d.h. mehr Erfolge hat). Das Dreifache davon ist der mittlere Gewinn.


[gelöscht durch Administrator]

[Dom]

@Harald: Ob das System inflationär ist, hängt doch dann davon ab, wie die Spieler sich im Spiel verhalten, oder?

[oliof]

Dom: Das ist meine Vermutung. Allerdings ist es fuer einen Spieler, der einzelne Elemente inflationaer bevorzugt sehr einfach, die Ressourcen der anderen Spieler zu binden, weil die staendig gegen ihn angehen muessen.

Moral von der Geschichte: Gegen Idioten hilft auch Universalis nix.

[reinecke]

Wie würdet ihr die Begriffe übersetzen? Hauptsächlich interessieren mich diese Begriffe:

Tenet - Prämisse
Component - spiel Element
Complication - Konflikt (passt)
Challenge - Einspruch (passt)
Fine - Bußgeld, Strafe