Mal ganz dezent gefragt, muesste man wenn man auf das (1-p)^(n-k) verzichtet (das sagt ja, dass die anderen (n-k) NICHT p sind) nicht schon das gefragte (naemlich mindestens n) haben ?
Nein, das geht nicht. Man kann mit der Binomialverteilung nur die Wahrscheinlichkeit für
genau k Treffer berechnen.
Ein einfaches Gegenbeispiel zeigt schon, dass Dein Ansatz nicht funktioniert:
Zweimaliges Werfen einer Münze mit Kopf und Zahl. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Kopf erscheint? Es gilt n=2, p=1/2, k=1
"Zu Fuß" berechnet ergeben sich insgesamt vier Möglichkeiten, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben: Z,Z ; Z,K ; K,Z ; KK Daraus ist leicht ersichtlich, dass 3 von 4 Fällen mindestens einmal Kopf ergeben, die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 0,75.
Mit den Summen der Binomialverteilung errechnet ergibt sich das gleiche Ergebnis
P(k=1) = (2!/(1!*(2-1)!))*(1/2)^1*(1/2)^(2-1)
= 2 * 1/2 * 1/2
= 1/2
P(k=2) = (2!/(2!*(2-2)!))*(1/2)^2*(1/2)^(2-2)
= 1 * 1/4 * 1
= 1/4
P(k>=1) = P(k=1) + P(k=2) = 1/2 + 1/4 = 3/4 = 0,75
Nach Deiner Methode ergäbe sich aber:
P(k>=1) = (2!/(1!*(2-1)!))*(1/2)^1
= 2 * 1/2
= 1
