Thema: Statistische Frage zu Fudge Würfeln

[Buddz]

Was ist die Wahrscheinlichkeit mit 3 Fudge Würfeln mindestens zwei Plusse zu würfeln? Dabei ist es mir egal wie das Endergebnis ist. Und wie kommt man auf die Wahrscheinlichkeit?

Mein bisheriger Gedankengang:

• Ein einziges Plus zu würfeln hat eine Wahrscheinlichkeit von 100%. Dies resultiert aus den addierten Wahrscheinlichkeiten jedes Fudge-Würfels ein Plus zu würfeln (~33%).
• Das mit dem relativ simplen aufaddieren geht aber wahrscheinlich ja nur für diesen Fall (reines Bauchgefühl). Die Wahrscheinlichkeit für je zwei oder drei Plusse liegt sicherlich nicht bei 66% und 33%, oder?
• Ich würde vermuten, dass man für den Fall von zwei Plussen zunächst erstmal auch nur zwei Würfel betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit mit zwei Fudge-Würfeln zwei Plusse zu würfeln liegt bei 1/9 oder knapp über 11%. Jetzt hat man drei Würfel, also gäbe es drei verschiedene Kombinationen an zwei Würfeln welche zwei Plusse liefern. Also einfach aufaddieren und man landet doch wieder bei 33%?
• Ist das also doch richtig, oder muss ich noch was anderes beachten?

[Pyromancer]

Mein bisheriger Gedankengang:

• Ein einziges Plus zu würfeln hat eine Wahrscheinlichkeit von 100%. Dies resultiert aus den addierten Wahrscheinlichkeiten jedes Fudge-Würfels ein Plus zu würfeln (~33%).

Dass das nicht stimmen kann siehst du schon daran, dass es möglich ist, NICHT ein einziges Plus zu würfeln. Das ist mir zumindest schonmal passiert.

Richtiger geht es so:
Die Wahrscheinlichkeit auf einem einzelnen Würfel ein Plus zu würfeln ist 1/3, dafür ein Nicht-Plus zu würfeln 2/3. Bei mehreren Würfeln musst du multiplizieren, und dann alle Möglichkeiten addieren.

Für mindestens zwei Plusse gibt es folgende Möglichkeiten (P=Plus, N=Nicht-Plus):
PPN (Wahrscheinlichkeit 1/3 * 1/3 * 2/3 = 2/27)
PNP (Wahrscheinlichkeit 2/27)
NPP (Wahrscheinlichkeit 2/27)
PPP (Wkeit 1/27)

Alles zusammenzählen ergibt 7/27, also ungefähr 26%.

[Buddz]

Also wäre die Wahrscheinlichkeit ein einziges Plus zu würfeln 19/27? Also die 7/27 plus die Fälle PNN, NPN, NNP mit jeweils (1/3 * 2/3 * 2/3 = 4/27)?

Und das würde wahrscheinlich auch für andere spezifische Kombinationen gelten (also die Anforderung ein Plus, ein Minus und eine leere Seite zu würfeln ist die selbe Wahrscheinlichkeit wie 3 Plusse), oder?

[Pyromancer]

Die Wahrscheinlichkeit, MINDESTENS ein Plus zu würfeln, ja.

Probe: Die Wahrscheinlichkeit, gar kein Plus zu würfeln (NNN) ist 2/3 * 2/3 * 2/3 = 8/27.

Die Wahrscheinlichkeit, entweder gar kein Plus zu würfeln ODER mindestens ein Plus zu würfeln sollte 100% ergeben. Und 8/27 + 19/27 sind tatsächlich 27/27!

[Scimi]

Und das würde wahrscheinlich auch für andere spezifische Kombinationen gelten (also die Anforderung ein Plus, ein Minus und eine leere Seite zu würfeln ist die selbe Wahrscheinlichkeit wie 3 Plusse), oder?

Nein. 

Um das ohne Mathematik und "zu Fuß" zu machen, müssen wir alle möglichen Fälle unterscheiden. Und zwar für jeden Würfel einzeln. Bei 3dF ist das relativ übersichtlich:

 1: -/-/-
 2: -/-/0
 3: -/-/+
 4: -/0/-
 5: -/0/0
 6: -/0/+
 7: -/+/-
 8: -/+/0
 9: -/+/+
10: 0/-/-
11: 0/-/0
12: 0/-/+
13: 0/0/-
14: 0/0/0
15: 0/0/+
16: 0/+/-
17: 0/+/0
18: 0/+/+
19: +/-/-
20: +/-/0
21: +/-/+
22: +/0/-
23: +/0/0
24: +/0/+
25: +/+/-
26: +/+/0
27: +/+/+

Dabei sieht man, dass das Ergebnis "+/+/+" nur genau einmal im Fall #27 vorkommt, während es 6 Fälle (#6, #8, #12, #16, #20 und #22) gibt, die alle drei Würfelergebnisse enthalten.

"Ein Plus, ein Minus und eine leere Seite" kommt also im Schnitt 6mal häufiger vor als "nur Plusse". 


Zum Rechnen kannst du es dir so vorstellen, dass du die Würfel nacheinander betrachtest:

Fall "+/+/+":
Der erste Würfel muss ein "+" zeigen, sonst klappt es schon nicht mehr. D.h. der erste Würfel hat eine Chance von 1/3, dass das Endergebnis "+/+/+" wird.

Der zweite Würfel muss für das Endergebnis ebenfalls ein "+" zeigen und hat damit auch eine Chance von 1/3, dass das Endergebnis hinkommt. Aber damit das interessant ist, muss der erste Würfel schon richtig liegen. D.h. Nur in 1/3 der Fälle zeigt der 1. Würfel ein "+" und nur in 1/3 genau dieser Fälle zeigt auch der 2. Würfel ein "+". Das heißt nur in 1/3 * 1/3 = 1/9 der Fälle liegen der 1. und der 2. Würfel richtig.

Der 3. Würfel hat dieselbe 1/3-Chance, ein "+" zu zeigen. Aber dieses 1/3 ist wiederum nur von Belang, wenn schon der 1. und der 2. Würfel stimmen. Also für die 1/9-Chance, dass der dritte Würfel überhaupt betrachtet wird, bringt der noch einmal seine 1/3-Chance, für insgesamt 1/9 * 1/3 = 1/27.

Also 1 von 27 Ergebnissen, so wie wir es vorher mit der Tabelle ausgezählt haben. 

Fall "jedes Ergebnis einmal":
Für dieses Ergebnis ist egal, was der 1. Würfel zeigt. Ob "+", "0" oder "-", die anderen beiden Würfel können immer noch die anderen beiden Ergebnisse zeigen. Daher hat der erste Würfel eine 3/3-Chance, dass wir an der Stelle weitermachen und uns den 2. Würfel ansehen.

Der 2. Würfel "stimmt", wenn er ein anderes Ergebnis zeigt als der 1. Würfel. Von den 3 möglichen Ergebnissen "+", "0" und "-" hat der 1. Würfel eins gestrichen, das heißt, es bleiben noch 2 von 3 übrig. Damit hat der 2. Würfel eine 2/3-Chance, dass das Endergebnis alle drei Würfelergebnisse enthält. Weil der 1. Würfel 100%ig stimmt, ist die Gesamtchance beim 2. Würfel 3/3 * 2/3 = 6/9 (und natürlich gekürzt immer noch 2/3).

Der 3. Würfel muss jetzt das übrige Würfelergebnis zeigen. Dafür hat er eine Chance von 1/3. Die kommt aber überhaupt nur für die 6/9-Chance zustande, dass die ersten beiden Würfel schon ihren Job gemacht haben. Insgesamt hat "jedes Ergebnis einmal" damit eine Chance von 6/9 * 1/3 = 6/27.

Auch hier die 6 von 27 Fällen, die wir vorher in der Tabelle gefunden haben. 

[Buddz]

Wow! Danke für die ausführlichen Erklärungen, ihr habt mir sehr weiter geholfen 

[Hell van Sing]

Vielleicht nochmal eben eingeworfen:
Bei Faterpg.de gibt es eine komplette Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten der Würfel, wenn auch unter der Annahme dass man 4 Würfel verwendet.
Einfach mal hier klicken.

[Buddz]

Ah, aber diese Tabelle ist ja für das Aufaddieren der Symbole - nicht für die individuelle Betrachtung der Symbole. Aber trotzdem danke fürs posten

[Scimi]

Und Fate benutzt 4dF, nicht die hier gefragten 3dF. Funktioniert natürlich alles nach demselben Prinzip, aber die konkreten Werte sind halt je nachdem anders. 

[Daigoro]

3dF

Wie sinnvoll sind denn Fudgewürfel?Macht das am Spieltisch Spass zu würfeln?
weil, Wenn ich mir überlege, eine 0 ist so, als ob ich gar nicht gewürfelt hätte und dass ein -und ein+ sich ggseitig aufheben? Dann brauch ich nur drei Würfel fuer das Endresultat --- und +++ drei Würfel, manchmal hätte man sich das würfeln auch komplett sparen können !? Oder interpretiert man das noch nach Ergebnissen anders, je nachdem was liegt?
sonst hier die nötige WFudge Anzahl um Ergebnis zu erhalten
(---,--,-,0/nix,+,++,+++)

drei 1: -/-/-
zwei 2: -/-/0
ein 3: -/-/+
zwei 4: -/0/-
ein 5: -/0/0
kein 6: -/0/+
ein 7: -/+/-
kein 8: -/+/0
ein 9: -/+/+
zwei 10: 0/-/-
ein 11: 0/-/0
kein 12: 0/-/+
ein 13: 0/0/-
kein 14: 0/0/0
ein 15: 0/0/+
kein 16: 0/+/-
ein 17: 0/+/0
zwei 18: 0/+/+
ein 19: +/-/-
kein 20: +/-/0
ein 21: +/-/+
kein 22: +/0/-
ein 23: +/0/0
zwei 24: +/0/+
ein 25: +/+/-
zwei 26: +/+/0
drei 27: +/+/+

ansonsten könnten drei W6 mit ---,--,-,+,++,+++ auch gehen.
ein dreifach Resultat braucht drei Ergebnisse gleich---,---,---
ein zweifachresultat braucht zwei Würfel gleich --,--,egal
und bei einzel zählt mehrheit bzw tendenz-,-,+ oder -,--,+

[Buddz]

Wie sinnvoll sind denn Fudgewürfel?Macht das am Spieltisch Spass zu würfeln?
weil, Wenn ich mir überlege, eine 0 ist so, als ob ich gar nicht gewürfelt hätte und dass ein -und ein+ sich ggseitig aufheben?

Also ich benutze derzeit Fudge Würfel als SL Tool um Fragen zu beantworten (Will der Händler euren Krams kaufen? --+, also einen Teil kauft er euch ab, aber die restlichen 23 rostigen Schwerter müsst ihr woanders verticken).

Ich denke aber über eine komplette Spielmechanik nach. Der Vorteil ist die "Glockenkurvigkeit" bei gleichzeitig niedrigen Zahlen. Zudem kann man auch Effekte an gewisse Symbole binden (z.B. die "Blutgeier Technik" kannst du nur anwenden wenn dein Gegner mindestens ein Minus würfelt).

Natürlich hat man da auch mal Würfelergebnisse wo man etwas "abziehen" muss. Zwar ist das eigentlich nichts anderes als mit einem W20 eine unterdurchschnittliche Zahl zu würfeln. Das ist psychologisch natürlich etwas anders, weil man den W20 mit der niedrigen Zahl ja immer noch "addiert". Ob das jetzt mehr oder weniger Spaß macht kann dir wohl nur das jeweilige Individuum sagen. Ohne Spaß kein Fun 

[Daigoro]

Ja cool, merci für die Antwort Buddz; jetz ist mir das schon klarer wie andere oder  Du das z.B. verwendest

ich muesste das mal selbst austesten, fand des nur doof: man würfelt, und raus kommt ein nix; zugegebenermassen ist es ein  "feinteiliges" nix. man weis, wie des nix zusammengesetzt ist