Thema: W6er Pools und Erfolgswahrscheinlichkeiten

[Megavolt]

Bei Shadowrun zählen eine 5 und eine 6 als Erfolg.

Frage 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2W6 einen Erfolg zu erzielen?
Frage 2: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit 3W6 einen Erfolg zu erzielen?

Wichtig: Wie ist der Rechenweg, um weitere solche Fragen zu beantworten?

Ich bin zu doof, sorry, male schon Ergebnistabellen und zähle die erwünschten Ergebnisse ab. Aber es muss doch einfacher gehen, bei allen Göttern der Mathematik. Pfiffige Multiplikation oder sowas. Mich erleichtert immerhin, dass es auch im ganzen Discord niemand weiß.

Ich kann das gedanklich nur so modellieren, dass ich Würfel aufstapele. bei 3W6 komme ich auf 216 mögliche Ergebnisse und bei einem 4x4x4er Block in der Mitte des Stapels, also bei 64 Varianten ist kein 5er und 6er drin. Das ergibt irgendwie so knapp 70% für einen Erfolg.   

Aber das ist doch arg hemdsärmelig. Was mache ich denn bei 7W6 oder so, das geht so nicht.

[Imion]

Die Wahrscheinlichkeit mit einem d6 keine 5 oder 6 zu würfeln beträgt 2/3. Die Wahrscheinlichkeit mit 2d6 keine 5 oder 6 würfeln demnach (2/3)*(2/3), etc.

Allgemein:
p(s) = 1 - ((2/3)^n)

p(s) Wahrscheinlichkeit mindestens einen Erfolg zu erzielen, n Anzahl d6

[takti der blonde?]

https://gprivate.com/606sy

[Megavolt]

https://gprivate.com/606sy

Der Gag mit dem "Let me google that for you" funktioniert strukturell anders.

[Megavolt]

Die Wahrscheinlichkeit mit einem d6 keine 5 oder 6 zu würfeln beträgt 2/3. Die Wahrscheinlichkeit mit 2d6 keine 5 oder 6 würfeln demnach (2/3)*(2/3), etc.

Allgemein:
p(s) = 1 - ((2/3)^n)

p(s) Wahrscheinlichkeit mindestens einen Erfolg zu erzielen, n Anzahl d6

 

[takti der blonde?]

Der Gag mit dem "Let me google that for you" funktioniert strukturell anders.

Manche können halt nur kopieren, andere variieren auch mal.

[Megavolt]

Die Wahrscheinlichkeit mit einem d6 keine 5 oder 6 zu würfeln beträgt 2/3. Die Wahrscheinlichkeit mit 2d6 keine 5 oder 6 würfeln demnach (2/3)*(2/3), etc.

Allgemein:
p(s) = 1 - ((2/3)^n)

p(s) Wahrscheinlichkeit mindestens einen Erfolg zu erzielen, n Anzahl d6

Wie schaut denn die Formel bei "mehreren" Erfolgen aus? Sagen wir mal: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "drei" (oder n) Erfolge bei "fünf" (oder anderes n) Würfeln?

[kizdiank]

Wie schaut denn die Formel bei "mehreren" Erfolgen aus? Sagen wir mal: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "drei" (oder n) Erfolge bei "fünf" (oder anderes n) Würfeln?

Dazu kommt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binominalverteilung zum Einsatz. Die lässt sich in Textform schwer darstellen, ich versuche es mal mit einer Einbindung über Wikipedia:


Dabei ist n die Anzahl der Würfel, k die Anzahl der Erfolge und p die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg.

Der Ausdruck n über k in der Klammer am Anfang der Formel ist der Binomialkoeffizient:


Hier gibt es einen Online-Rechner:
https://matheguru.com/stochastik/binomialverteilung.html#Rechner_fuer_die_Binomialverteilung-3

Der gibt dir für dein Beispiel mit n = 5, k = 3 und p = 1/3 eine Wahrscheinlichkeit von P = 16,46% aus.

[Yney]

Oder eine Tabellenkalkulation bemühen …
ich war mal so frei

[Megavolt]

Ihr seid großartig!

Food for thought! Ich durchdenke das alles morgen mal gründlich. (Und ich habe dann voraussichtlich auch noch Anschlussfragen, wenn das okay ist )

[Megavolt]

Eine Anfrage habe ich noch:

Stellt euch vor, es gibt verschiedene Würfel, um Erfolge zu werfen:

- eine Sorte Würfel, die bei 4,5,6 einen Erfolg produziert ("rote Würfel")
- eine Sorte Würfel, die bei 5,6 einen Erfolg produziert ("gelbe Würfel")
- eine Sorte Würfel, die bei 6 einen Erfolg produziert ("blaue Würfel")

Ich benötige nun eine Formel, die die Erfolgswahrscheinlichkeit je nach eingesetzten Würfel und erforderlicher Anzahl an Erfolgen ausspuckt.

Also irgendwie sowas wie

Anzahl rote + Anzahl gelbe + Anzahl blaue bei bestimmter Anzahl geforderter Erfolge = prozentuale Wahrscheinlichkeit

So dass man dann unkompliziert die Variablen befüllen könnte mit z.B.:

0 + 1 + 2 bei geforderten zwei Erfolgen = 11%  (oder was auch immer)

Wenn ihr mir das ausformulieren könntet, das wäre halt mega stark. Ich scheitere gedanklich oft daran, das mir nicht intuitiv einleuchtet, wann die Wahrscheinlichkeiten addiert und wann sie multipliziert werden und das schmeißt mich dann immer schön raus, wenn es komplexer wird. Ich muss alles sehr umständlich tabellarisch oder Verlaufsdiagramm-mäßig modellieren, und das wird schnell blödsinnig.

[1of3]

Ich benötige nun eine Formel, die die Erfolgswahrscheinlichkeit je nach eingesetzten Würfel und erforderlicher Anzahl an Erfolgen ausspuckt.

Die Verallgemeinerung der Binominlverteilung ist die Multinomialverteilung.

Funktioniert im Grunde genauso, nur das du nicht p und 1-p, sondern k einzelne p_k.

[ArneBab]

Wenn das zu komplex zu durchdenken wird, kannst du bei Würfelfragen meistens noch einfach alle Möglichkeiten generieren (als PRogramm) und dann zählen, wie viele davon Erfolge sind.

Das war für mich üblicherweise der erste Schritt, anfangs von Hand, bevor ich dann die richtige Formel genommen habe, weil es mir ein stärkeres intuitives Gefühl dafür gibt, was beim Würfeln passiert.

Anders als die sauberen und schnellen Formeln kommt das dann auch mit so Sachen klar wie „aber ein Pasch bei der Unterstützen-Probe gibt drei Punkte extra“.

[Megavolt]

Also wenn mir jemand noch eine schöne Formel zum Ausfüllen basteln würde, das wäre halt echt mega cool.

Ich bin mir nicht mal sicher, ob dieser Wunsch irgendwie vermessen ist, weil es zu simpel ist oder weil es zu schwierig ist - ich weiß es schlicht nicht.

[Colgrevance]

Sollte in AnyDice mit dem Code im Spoiler gehen. Du müsstest die Schleife nochmal für die von dir gewünschte Anzahl an Würfeln anpassen; ich habe jetzt einfach mal eins bis vier Würfel angenommen (bei einer großen Anzahl an Durchläufen spielt AnyDice dann auch nicht mehr mit...).

(Klicke zum Anzeigen/Verstecken)

function: megavoltdice REDDICE:n YELLOWDICE:n BLUEDICE:n {
REDOUTCOME: [count {4,5,6} in REDDICEd6]
YELLOWOUTCOME: [count {5,6} in YELLOWDICEd6]
BLUEOUTCOME: [count {6} in BLUEDICEd6]
TOTAL: REDOUTCOME + YELLOWOUTCOME + BLUEOUTCOME
result: TOTAL
}

loop K over {1..4}{
  loop L over {1..4}{
    loop M over {1..4}{
      output [megavoltdice K L M] named "[K] rote(r), [L] gelbe(r) und [M] blaue(r) Würfel"
    }
  }
}

Ich bin kein Programmierer, das geht sicher noch eleganter - aber vielleicht hilft es für den Anfang schonmal weiter.

[Yney]

Die Fragestellung ist interessant, mir kam aber (nicht übel nehmen) dann schon die Frage: Warum willst du das alles so genau wissen? Denn diese Zahlen können ja nur dazu dienen, ein bestehendes System bezüglich eigener Chancen zu optimieren. Wenn du umgekehrt eine sehr feinkörnige Steuerung haben möchtest, dann wäre dir doch mit einem W100 oder bei Bedarf einem W1000 mehr gedient, bei dem du die gewünschte Wahrscheinlichkeit einfach vorgibst?

Aber wie gesagt: nicht böse gemeint.

Zum eigentlichen Problem:
Die Multinomialverteilung tut es hier meiner Ansicht nach nicht, denn sie bildet ein gänzlich anderes Experiment ab.
Nichtsdestotrotz hat Colgrevance durchaus Recht: Eine Umsetzung mittels einer Schleifenstruktur in einer Programmiersprache der persönlichen Wahl könnte das wunderbar automatisieren. Denn Dank deiner drei verschiedenen Würfel ist die Aufstellung einer kompletten Wahrscheinlichkeitsverteilung schon "dreidimensional" (x für die Anzahl der roten, y für die gelben und z für die Anzahl der Erfolge insgesamt (aus der die Anzahl der blauen Erfolge folgt)).
Ich habe eine Tabelle gebastelt, die eine "Scheibe" aus diesem Kuchen schneidet. Sprich: Du kannst die Anzahl der jeweiligen Würfel eingeben und die gewünschte Gesamtzahl an Erfolgen und erhätst die Wahrscheinlichkeit (wenn ich mich nirgends vertippt habe). Für ein hübsches Diagramm bräuchte man nun diese Tabelle für jede mögliche Anzahl an Erfolgen (dazu hatte ich dann wahrlich keine Lust mehr ).

Ich hoffe aber es hilft.
(Dateien wieder gepackt, einmal als Libre Office Tabelle, einmal umgewandelt in Excel)

[Megavolt]

Vielen, vielen Dank euch beiden! Vielen Dank für die viele Mühe, das ist echt der Hammer.

Die Fragestellung ist interessant, mir kam aber (nicht übel nehmen) dann schon die Frage: Warum willst du das alles so genau wissen? Denn diese Zahlen können ja nur dazu dienen, ein bestehendes System bezüglich eigener Chancen zu optimieren. Wenn du umgekehrt eine sehr feinkörnige Steuerung haben möchtest, dann wäre dir doch mit einem W100 oder bei Bedarf einem W1000 mehr gedient, bei dem du die gewünschte Wahrscheinlichkeit einfach vorgibst?

Aber wie gesagt: nicht böse gemeint.

Die Frage ist völlig berechtigt. Ich will einfach selbst gerne die Frage beantworten können: "Wenn die Figur einen roten Würfel als Bonus bekommt, wie krass ändern sich dann seine Erfolgswahrscheinlichkeiten?" oder "Wenn man die Anzahl der geforderten Erfolge hochsetzt, wie drastisch wirkt sich das aus?".

Mit meinen Gefühligkeiten komme ich da nicht weiter, vor allem nicht, wenn das komplexer wird.

Nachtrag:
Ohje: Ich habe gerade rote Würfel addiert bei geforderten x Erfolgen und festgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit irgendwann wieder sinkt: Ich muss die Aufgabenstellung noch präzisieren, sonst hilft mir die großartige Exceltabelle doch nicht - es geht um "mindestens x" Erfolge, nicht "exakt x". MEhr Würfel sollen quasi immer besser sein.

Meinst du, das kannst du irgendwie aufwandslos noch abwandeln, Yney? Hier in meinem Beitrag fehlen ca. acht "Affe, der sich verschämt die Augen zuhält"- Smileys, um zu unterstreichen, dass ich weiß, dass das alles total anmaßend ist.

[Colgrevance]

Zu Yneys Vorgehen kann ich nichts sagen, aber bei AnyDice kannst du die Ausgabe einfach von „Normal“ zu „At least“ umschalten und hast dann direkt die Wahrscheinlichkeit angezeigt, mindestens die angegebene Anzahl von Erfolgen zu erreichen. Diese Ausgabe dürfte für die meisten Systeme die relevantere sein - ich nutze das z. B., wenn ich für die Year Zero Engine Erfolgswahrscheinlichkeiten nachprüfen will.

[Yney]

Tadaaaaa!

Geht aber "nur" bis zu maximal 10 Würfeln von jeder Sorte

Edit: Colgrevance kam mir zuvor und ich konnte nicht nachlesen, was er geschrieben hat.
Ich denke wenn man dem Skript noch Summation beibringen kann, dann ist das sicher flüssiger und geradliniger als meine Tabellenstapel.

[Megavolt]

Wie phänomenal ist das bitte?

Vielen vielen herzlichen Dank!

[Yney]

Von Herzen gerne!