Thema: Noch mehr obskure Würfeleien

[alexandro]

Ausgehend von Svens Frage neulich habe ich auch eine Frage an die Wahrscheinlichkeitsexperten:
Es geht um die ORE (Godlike, Weapons of the Gods, Wild Talents).
Im GRW gibt es ja so eine schicke Tabelle mit der Belle Curve (der Wahrscheinlichkeit mit einer bestimmten Zahl W10 ein Päarchen oder besser zu würfeln) ( http://arcdream.com/godlike/quickplayrules.pdf )

1- n/a
2- 10%
3- 28%
etc.

Mich interessieren die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für Drillinge, Vierlinge etc.

Ich hoffe ihr könnt einem Mathephoben SL weiterhelfen.

CU
Alex

[Huckleberry]

Wenn ich das richtig verstehe, geht es jeweils darum, irgendeinen Drilling (oder besser), Vierling (oder beser) etc zu würfeln, oder?

Also, ich probiers mal (ohne Gewähr):

Für Drillinge (oder besser) mit n Würfel:

10*1*1*10^(n-3)*(ⁿ₃)
---------------------------
10ⁿ

Für 1& 2: 0%
Für 3: 1%
Für 4: 4%
Für 5: 10%
...

Für Vierlinge (oder besser) mit n Würfel:

10*1*1*1*10^(n-4)*(ⁿ₄)
---------------------------
10ⁿ

Für 1,2,3: 0%
Für 4: 0,1%
Für 5: 0,5%
etc.


Und jetzt bin ich gespannt: stimmt das?
(lang ists her )

[Eulenspiegel]

Das kann man induktiv lösen:
P(n) ist die Wahrscheinlichkeit, mit n Würfeln ein Pärchen zu würfeln.
Dann gilt ja:
Wenn ich n+1 Würfel habe, dann habe ich entweder mit den ersten n Würeln ein Pärchen oder mit den 2. Würfel kann ich n mögliche Zahlen würfeln, die zum Ergebnis führen.

Wir haben also:
P(1)=0
P(n+1) = P(n)+(1-P(n))* (n-1)/10

Wir erhalten also:
P(1) = 0%
P(2) = 0+1*1/10 = 10%
P(3) = 0,1+0,9*0,2 =28%
P(4) = 0,28+ 0,72*0,3 = 49,6%
P(5) = 0,496 +0,504*0,4 = 69,76%
P(6) = 0,6976 +0,3024*0,5 = 84,88%
P(7) = 0,8488 +0,1512*0,6 = 93,952 %
P( = 0,9352+0,06048*0,7 = 97,7536 %
P(9) = 0,977536 + 0,022464*0,8 = 99,55072 %
P(10) = 0,9955072 + 0,0044928*0,9 = 99,955072 %
P(11) = 100%

Eine andere Möglichkeit wäre auszurechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, KEIN Pärchen zu würfeln und dann die Gegenwahrscheinlichkeit nehmen:
Bei keinem Pärchen, darf der 1. Würfel eine beliebige Zahl zeigen. Der 2. Würfel hat nur noch 9 Möglichkeiten, der 3. Würfel nur noch 8 etc.

Wir erhalten also bei n Würfeln: 10! / (10-n)! Möglichkeiten, kein Pärchen zu würfeln.
Insgesamt gibt es 10^n Möglichkeiten.

Wir erhalten also für die Wahrscheinlichkeit, KEIN Pärchen zu würfeln:
10! / (10-n)! /10^n = 9! /[ (10-n)! *10^(n-1)]

Die Wahrscheinlichkeit, ein Pärchen zu würfeln ist dann also:
P(n) = 1- 9! /[ (10-n)! *10^(n-1)]

Das wären also:
P(1) = 1-1 = 0%
P(2) = 1-0,9 = 10%
P(3) = 1- 0,81 = 28%
P(4) = 1- 0,504 = 49,6%
P(5) = 1- 0,3024 =69,76%
...
P(11) = 100%

Ab 11 Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen immer 100%.

[alexandro]

@Huckleberry: Wofür steht denn

10*1*1*10(n-3)*(n3)

in deiner Formel???
Kenne diese Schreibweise irgendwie nicht (Edit: oben gucken, da das irgendwie bei mir anders aussieht)

[Huckleberry]

Das (ⁿ₃) heißt "3 aus n" (allgemein (ⁿ_k) "k aus n", wobei n und k eigentlich in einer ordentlichen Spalte stehen sollten, das krieg ich hier nur nicht hin) und gibt die Zahl der Möglichkeiten an, Mengen von 3 (bzw. k) Elementen aus einer n-elementigen Menge zu ziehen.

Angenommen, Du hast 5 Würfel; dann ist es ja für das vorliegende Problem irrelevant, ob Du den Drilling mit Würfel 1,2,3 oder mit Würfel 1,4,5 würfelst. Deshalb muß man sich überlegen, wieviele Möglichkeiten es gibt, 3 Würfel aus 5 auszuwählen. Und das sagt diese Formel.

Berechnet wird das durch

n!
----
k! * (n-k)!

 also für 5:

5*4*3*2*1         5*4
-----------   =  ------ = 10.
3*2*1 * 2*1       2*1


Die ganze Formel kam übrigens durch folgende Überlegungen zustande:

Welche Zahl der Drilling zeigt, ist irrelevant. Der "erste" Wüfel hat also 10 verschiedene Möglichkeiten.

Die beiden anderen Würfel, die dann den Drilling bilden, müssen aber jeweils die Zahl zeigen, die auch der "erste" Würfel zeigt. Deshalb haben die jeweils nur 1 Möglichkeit zur Auswahl.
Für die drei Drillingswürfel gibt es also 10*1*1 Möglichkeiten.
Die restlichen Würfel können wieder zeigen, was sie zeigen wollen (da ja auch 4 gleiche als Drilling zählen hier, oder?): wir multiplizieren weiter mit 10, und zwar so oft, wie viele weitere Würfel da sind. Allgemein: 10^(n-3).
Bei 5 Würfeln also :10^(5-3)=10²=100.

Nun muß man sich nur noch überlegen, daß es ja nicht nur drei bestimmte Würfel sein können, die den Drilling bilden, sondern einfach irgendwelche der zur Verfügung stehenden. Also (ⁿ₃), in diesem Fall 10.

Das: 10*1*1*10^(n-3)* (ⁿ₃)
also: 10*1*1*100*10 = 10.000 für 5 Würfel
ist die Zahl der Möglichkeiten, mit n Würfeln einen Drilling zu würfeln. Die muß jetzt noch geteilt werden durch die Zahl der möglichen Möglichkeiten. Möglich sind für jeden einzelne Würfel 10, für n Würfel also 10ⁿ, macht bei 5: 10*10*10*10*10=100.000

Die Wahscheinlichkeit für irgendeinen Drilling mit irgendwelchen drei von 5 Würfeln ist also 10.000/100.000=10%.

Denke ich.

(Kann das jemand verifizieren?)

[Eulenspiegel]

Deine Formel ist zwar als Näherung ganz gut, aber nicht exakt.
Das Problem ist, dass du manche Möglichkeiten doppelt zählst.

Du zählst nämlciha lle Möglichkeiten doppelt, wo mehr als die gewünschten Zahlen das Ergebnis zeigen.
Also z.B. bei der Wahrscheinlichkeit ein Drilling zu bekommen:
- Wenn 4 Würfel das gleiche ERgebnis anzeigen, kommt diese Mööglichkeit 5 mal bei dir vor.
- Wenn du 2 Drillinge hast, kommt diese Möglichkeit doppelt be dir vor.


Wenn man z.B. mit deiner Methode die Wahrscheinlichkeit berechnet, ein Pärchen mit 3 Würfeln zu würfeln, bekommt man 30%. Der exakte Wert liegt allerdings bei 28%.

Ab 21 Würfeln müsste die Wahrscheinlichkeit, einen Drilling zu haben, bei 100% liegen.

Dir fällt sicherlich auf, dass deine Formel schon wesentlich früher Wahrscheinlichkeiten von über 100% liefert. (Das liegt daran, dass Kombinationen doppelt gezählt werden.)

[Huckleberry]

Deine Formel ist zwar als Näherung ganz gut, aber nicht exakt.
Das Problem ist, dass du manche Möglichkeiten doppelt zählst.
[...]

Dir fällt sicherlich auf, dass deine Formel schon wesentlich früher Wahrscheinlichkeiten von über 100% liefert. (Das liegt daran, dass Kombinationen doppelt gezählt werden.)

Habs tatsächlich grad gemerkt.   

Die Frage ist nur: wie repariert mans?

Mit
10*1*1*9^(n-3)*(ⁿ₃)
-------------------
10ⁿ

bekommt man wohl alle echten Drillinge, aber da fehlen dann eben die "zufälligen" Mehrlinge.

*nachdenkengeh*

[Huckleberry]

Wüster Hack:
Man zählt zu den echten Drillingen die echten Vierlinge etc jeweils einzeln dazu:

∑ ⁿ_i=3   10*9^n-i*(ⁿi)
-------------------
10ⁿ

Gibt für 5 Würfel also

Drillinge 10*9²*(⁵₃) +
Vierlinge 10*9¹*(⁵₄) +
Fünflinge 10*9⁰*(⁵₅)

= 10*81*10 + 10*9*5 + 10*1*1 = 8100 + 400 + 10 = 8510

Bei 10⁵=100.000 Möglichkeiten insgesamt macht das 8,51%

Klingt doch schon besser...

Und die Preisfrage: Gehts auch eleganter?


EDIT:
Stimmt immer noch nicht.   

Sobald es mehr als 5 Würfel werden, liefert die Formel immer noch zu große Ergebnisse (da dann die "restlichen" Würfel Drillinge bilden können, die damit dann mehrfach gezählt werden).

 ???

[Dom]

Wenn es nicht positiv geht, ist es meist eine gute Idee, die Gegenwahrscheinlichkeit auszurechnen und sich zu überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass kein Drilling vorkommt. In diesem Fall hier erscheint mir das leider auch nicht besonders leicht

Einfache Lösung: Programm schreiben und zählen lassen 

Dom

[Merlin Emrys]

Einfache Lösung: Programm schreiben und zählen lassen 

Dacht ich mir doch auch :-) .

Ergebnis:
Fuer 1 Wuerfel sind es  0.0  Prozent.
Fuer 2 Wuerfel sind es  9.96  Prozent.
Fuer 3 Wuerfel sind es  27.95  Prozent.
Fuer 4 Wuerfel sind es  49.57  Prozent.
Fuer 5 Wuerfel sind es  69.82  Prozent.
Fuer 6 Wuerfel sind es  84.90  Prozent.
Fuer 7 Wuerfel sind es  93.98  Prozent.
Fuer 8 Wuerfel sind es  98.19  Prozent.
Fuer 9 Wuerfel sind es  99.63  Prozent.
Fuer 10 Wuerfel sind es  99.96  Prozent.
Fuer 11 Wuerfel sind es  100.0  Prozent.

(Die Ungenauigkeit sollte unter 0,2% liegen.)

Fuer Interessierte:

import random
Wuerfelzahl = 11
Runden = 1000000

for Wuerfel in range(1,Wuerfelzahl+1):
    Fallzahl = 0
    Mehrling = 0
    for i in range(Runden):
        Liste = []
        for x in range(Wuerfel):
            Liste.append(int(random.random()*10+1))
        Paar = "Nein"
        for i in Liste:
            if Liste.count(i) > 1:
                Paar = "Ja"
        if Paar == "Ja":
            Mehrling += 1
        Fallzahl += 1
    print "Fuer %i Wuerfel sind es " % Wuerfel, Mehrling*100.00/Fallzahl, " Prozent."

[Eulenspiegel]

Du hast jetzt die Wahrscheinlichkeit für Pärchen ausgerechnet.
Dafür habe ich bereits die exakten Werte geliefert:

 1 Würfel: 0%
 2 Würfel: 10%
 3 Würfel: 28%
 4 Würfel: 49,6%
 5 Würfel: 69,76%
 6 Würfel: 84,88%
 7 Würfel: 93,952%
 8 Würfel: 98,1856%
 9 Würfel: 99,63712%
10 Würfel: 99,9963712%
11 Würfel: 100%

Deine Ergebnisse weichen aber tatsächlich kaum von den exakten Werten ab.

[Merlin Emrys]

Damit sich die Excel-Liebhaber nicht beschweren müssen, dass sie vernachlässigt werden, gibt's inzwischen auch eine - wenn auch arg hingeschluderte :-( - Anleitung fuer sie :-).

@ Eulenspiegel:
Kein Problem, man ändert einfach Zeile 13 entsprechend. Damit bekomme ich für 3:
Fuer 1 Wuerfel sind es  0.0  Prozent.
Fuer 2 Wuerfel sind es  0.0  Prozent.
Fuer 3 Wuerfel sind es  1.003  Prozent.
Fuer 4 Wuerfel sind es  3.711  Prozent.
Fuer 5 Wuerfel sind es  8.5395  Prozent.
Fuer 6 Wuerfel sind es  15.6749  Prozent.
Fuer 7 Wuerfel sind es  25.1219  Prozent.
Fuer 8 Wuerfel sind es  36.2802  Prozent.
Fuer 9 Wuerfel sind es  48.3041  Prozent.
Fuer 10 Wuerfel sind es  60.4782  Prozent.
Fuer 11 Wuerfel sind es  71.5406  Prozent.

In Excel geht man im Grunde analog vor, indem man die OR-Ausdruecke vervielfaeltigt... aber das mach ich jetzt nicht noch.

Edit:

Für 4 liefert mir mein Rechner dann:
Fuer 1 Wuerfel sind es  0.0  Prozent.
Fuer 2 Wuerfel sind es  0.0  Prozent.
Fuer 3 Wuerfel sind es  0.0  Prozent.
Fuer 4 Wuerfel sind es  0.098  Prozent.
Fuer 5 Wuerfel sind es  0.4641  Prozent.
Fuer 6 Wuerfel sind es  1.2654  Prozent.
Fuer 7 Wuerfel sind es  2.7254  Prozent.
Fuer 8 Wuerfel sind es  5.0008  Prozent.
Fuer 9 Wuerfel sind es  8.2993  Prozent.
Fuer 10 Wuerfel sind es  12.7291  Prozent.
Fuer 11 Wuerfel sind es  18.2476  Prozent.
Fuer 12 Wuerfel sind es  24.922  Prozent.
Fuer 13 Wuerfel sind es  32.4737  Prozent.
Fuer 14 Wuerfel sind es  40.7447  Prozent.
Fuer 15 Wuerfel sind es  49.4983  Prozent.

Etwas eleganter wird es in Python, wenn man die Gruppengrösse als Anfangsgrösse setzt. Und wenn man seinen Rechner über Nacht arbeiten lassen mag, erzeugt man die Gruppengrösse als Schleife und prüft, ob die 100% erreicht wurden... Bis wohin soll's denn gehen? :-)
 

import random
Runden = 1000

for Gruppengroesse in range(1,5):
    Prozentsatz = 0
    Wuerfel = 1
    print
    print "Die Gruppengroesse von %i wird geprueft: " % Gruppengroesse
    while Prozentsatz < 100:
        Fallzahl = 0
        Mehrling = 0
        for i in range(Runden):
            Liste = []
            for x in range(Wuerfel):
                Liste.append(int(random.random()*10+1))
            # print "Liste: ", Liste
            Paar = "Nein"
            for i in Liste:
                if Liste.count(i) >= Gruppengroesse:
                    Paar = "Ja"
                    # print "Paar %i gefunden" % i
                else:
                    # print "kein Paar gefunden"
                    pass
            if Paar == "Ja":
                Mehrling += 1
                # print "Mehrling: ", Mehrling
            Fallzahl += 1
            Prozentsatz = Mehrling*100.00/Fallzahl
        print "Fuer %i Wuerfel sind es " % Wuerfel, Prozentsatz, " Prozent."
        Wuerfel += 1
   

Hab das mal bis 5 laufen lassen und  bekomme als Output:

Die Gruppengroesse von 1 wird geprueft:
Fuer 1 Wuerfel sind es 100 Prozent.

Die Gruppengroesse von 2 wird geprueft:
Fuer 1 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 2 Wuerfel sind es 10.083 Prozent.
Fuer 3 Wuerfel sind es 28.036 Prozent.
Fuer 4 Wuerfel sind es 49.355 Prozent.
Fuer 5 Wuerfel sind es 69.896 Prozent.
Fuer 6 Wuerfel sind es 85 Prozent.
Fuer 7 Wuerfel sind es 94.057 Prozent.
Fuer 8 Wuerfel sind es 98.158 Prozent.
Fuer 9 Wuerfel sind es 99.613 Prozent.
Fuer 10 Wuerfel sind es 99.96 Prozent.
Fuer 11 Wuerfel sind es 100 Prozent.

Die Gruppengroesse von 3 wird geprueft:
Fuer 1 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 2 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 3 Wuerfel sind es 1.044 Prozent.
Fuer 4 Wuerfel sind es 3.645 Prozent.
Fuer 5 Wuerfel sind es 8.512 Prozent.
Fuer 6 Wuerfel sind es 15.89 Prozent.
Fuer 7 Wuerfel sind es 25.296 Prozent.
Fuer 8 Wuerfel sind es 36.523 Prozent.
Fuer 9 Wuerfel sind es 48.276 Prozent.
Fuer 10 Wuerfel sind es 60.263 Prozent.
Fuer 11 Wuerfel sind es 71.704 Prozent.
Fuer 12 Wuerfel sind es 81.274 Prozent.
Fuer 13 Wuerfel sind es 88.45 Prozent.
Fuer 14 Wuerfel sind es 93.703 Prozent.
Fuer 15 Wuerfel sind es 96.946 Prozent.
Fuer 16 Wuerfel sind es 98.674 Prozent.
Fuer 17 Wuerfel sind es 99.538 Prozent.
Fuer 18 Wuerfel sind es 99.893 Prozent.
Fuer 19 Wuerfel sind es 99.98 Prozent.
Fuer 20 Wuerfel sind es 99.996 Prozent.
Fuer 21 Wuerfel sind es 100 Prozent.

Die Gruppengroesse von 4 wird geprueft:
Fuer 1 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 2 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 3 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 4 Wuerfel sind es 0.09 Prozent.
Fuer 5 Wuerfel sind es 0.436 Prozent.
Fuer 6 Wuerfel sind es 1.325 Prozent.
Fuer 7 Wuerfel sind es 2.8 Prozent.
Fuer 8 Wuerfel sind es 5.006 Prozent.
Fuer 9 Wuerfel sind es 8.38 Prozent.
Fuer 10 Wuerfel sind es 12.812 Prozent.
Fuer 11 Wuerfel sind es 18.302 Prozent.
Fuer 12 Wuerfel sind es 24.889 Prozent.
Fuer 13 Wuerfel sind es 32.552 Prozent.
Fuer 14 Wuerfel sind es 40.825 Prozent.
Fuer 15 Wuerfel sind es 49.379 Prozent.
Fuer 16 Wuerfel sind es 58.211 Prozent.
Fuer 17 Wuerfel sind es 67.014 Prozent.
Fuer 18 Wuerfel sind es 74.376 Prozent.
Fuer 19 Wuerfel sind es 81.609 Prozent.
Fuer 20 Wuerfel sind es 87.461 Prozent.
Fuer 21 Wuerfel sind es 91.644 Prozent.
Fuer 22 Wuerfel sind es 94.997 Prozent.
Fuer 23 Wuerfel sind es 97.124 Prozent.
Fuer 24 Wuerfel sind es 98.623 Prozent.
Fuer 25 Wuerfel sind es 99.318 Prozent.
Fuer 26 Wuerfel sind es 99.742 Prozent.
Fuer 27 Wuerfel sind es 99.91 Prozent.
Fuer 28 Wuerfel sind es 99.97 Prozent.
Fuer 29 Wuerfel sind es 99.997 Prozent.
Fuer 30 Wuerfel sind es 100 Prozent.

Die Gruppengroesse von 5 wird geprueft:
Fuer 1 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 2 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 3 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 4 Wuerfel sind es 0 Prozent.
Fuer 5 Wuerfel sind es 0.01 Prozent.
Fuer 6 Wuerfel sind es 0.053 Prozent.
Fuer 7 Wuerfel sind es 0.186 Prozent.
Fuer 8 Wuerfel sind es 0.396 Prozent.
Fuer 9 Wuerfel sind es 0.915 Prozent.
Fuer 10 Wuerfel sind es 1.551 Prozent.
Fuer 11 Wuerfel sind es 2.737 Prozent.
Fuer 12 Wuerfel sind es 4.456 Prozent.
Fuer 13 Wuerfel sind es 6.476 Prozent.
Fuer 14 Wuerfel sind es 9.094 Prozent.
Fuer 15 Wuerfel sind es 12.497 Prozent.
Fuer 16 Wuerfel sind es 16.798 Prozent.
Fuer 17 Wuerfel sind es 21.509 Prozent.
Fuer 18 Wuerfel sind es 26.974 Prozent.
Fuer 19 Wuerfel sind es 33.08 Prozent.
Fuer 20 Wuerfel sind es 39.645 Prozent.
Fuer 21 Wuerfel sind es 46.465 Prozent.
Fuer 22 Wuerfel sind es 54.123 Prozent.
Fuer 23 Wuerfel sind es 60.859 Prozent.
Fuer 24 Wuerfel sind es 67.719 Prozent.
Fuer 25 Wuerfel sind es 73.967 Prozent.
Fuer 26 Wuerfel sind es 80.012 Prozent.
Fuer 27 Wuerfel sind es 84.849 Prozent.
Fuer 28 Wuerfel sind es 88.885 Prozent.
Fuer 29 Wuerfel sind es 92.533 Prozent.
Fuer 30 Wuerfel sind es 95.007 Prozent.
Fuer 31 Wuerfel sind es 96.909 Prozent.
Fuer 32 Wuerfel sind es 98.195 Prozent.
Fuer 33 Wuerfel sind es 99.062 Prozent.
Fuer 34 Wuerfel sind es 99.491 Prozent.
Fuer 35 Wuerfel sind es 99.779 Prozent.
Fuer 36 Wuerfel sind es 99.913 Prozent.
Fuer 37 Wuerfel sind es 99.973 Prozent.
Fuer 38 Wuerfel sind es 99.994 Prozent.
Fuer 39 Wuerfel sind es 99.999 Prozent.
Fuer 40 Wuerfel sind es 100 Prozent.