Thema: Würfelmathe

[Blechpirat]

Hi,

ich kanns nicht ausrechnen, aber ihr vielleicht?

Ich habe 7w6. 5+6 gelten als Erfolge. Es sind zwischen zwei und vier Erfolge nötig, um zu bestehen. Ich kann künftig

a) einen Würfel dazugewinnen (also 8w6 werfen) oder
b) Alle Würfel, die eine Eins zeigen, einmal nachwürfeln.

Wovon profitiere ich mehr? Macht es einen Unterschied, ob ich zwei, drei oder vier Erfolge benötige?

[Master Li]

Die Wahrscheinlichkeit eine 1 mit 7 Würfeln dabei zu haben ist nahezu 100%, mehrere Einsen sind auch sehr wahrscheinlich. Das nochmal würfeln ist das gleiche wie einen Würfel dazu zu nehmen. Daraus folgt:

alle Einsen wiederholen ist besser als einen Würfel mehr zu haben.

[Selganor [n/a]]

Musst du dich vor dem Wurf entscheiden ob du a) oder b) nimmst?

[Blechpirat]

Musst du dich vor dem Wurf entscheiden ob du a) oder b) nimmst?

Es handelt sich um eine Frage, wie ich die XP verbrate. Entweder den Bonuswüfel für den Skill, oder die 1en nachwürfeln. Für immer... [

[Greifenklaue]

Das 1sen Nachwürfeln dürfte im Schnitt in jedem Fall besser sein.

Die Fallwahrscheinlichkeit der gewürfelten Einsen kannst du ja über einfache Binomialverteilung bilden und daraus den erwartungswert bilden bzgl. der Anzahl der Einsen. Rechne ich auch gern zu heute abend aus  

Öhm, mehr als vier erfolge sind aber kein Mißerfolg, oder???

[Blechpirat]

Die Wahrscheinlichkeit eine 1 mit 7 Würfeln dabei zu haben ist nahezu 100%, mehrere Einsen sind auch sehr wahrscheinlich. Das nochmal würfeln ist das gleiche wie einen Würfel dazu zu nehmen. Daraus folgt:

alle Einsen wiederholen ist besser als einen Würfel mehr zu haben.

Das klingt irgendwie richtig. Aber mit solchen Vermutungen täuscht man sich oft. Aber sowas kann man auch ausrechnen, da bin ich sicher. Kann das hier jemand?

[Blechpirat]

Das 1sen Nachwürfeln dürfte im Schnitt in jedem Fall besser sein.

Die Fallwahrscheinlichkeit der gewürfelten Einsen kannst du ja über einfache Binomialverteilung bilden und daraus den erwartungswert bilden bzgl. der Anzahl der Einsen. Rechne ich auch gern zu heute abend aus  

Öhm, mehr als vier erfolge sind aber kein Mißerfolg, oder???

Ich weiß nicht mal, was Binomialverteilung ist. Als das drankam, war mein Mathelehrer krank.

Ne, mehr Erfolge sind völlig unschädlich. Und es ist auch denkbar, dass künftig irgendwann mal mehr als 4 Erfolge nötig sind, um den Wurf zu schaffen. Wenn du das ausrechnen könntest, wäre das echt cool.

Hintergrund: Es ist das John Sinclair System, und es geht um einen Verteidigungswurf. Die Stärke des angreifenden Monsters bestimmt, wieviele Erfolge man benötigt.

[Master Li]

Also:

Die Wahrscheinlichkeit bei 7 Würfeln eine 1 zu bekommen (was einem weiteren Würfel entspricht, da ja nochmal gewürfelt wird):

0 = 28%
1 = 39%
2 = 23%
3 = 08%
4 = 02%
5,6,7 = Rest

Nur zu 28% hat man weniger Würfel als bei der 8w6 Methode. zu 72% ist man gleich oder besser dran (33%)

33 ist mehr als 28, demnach hat man im Schnitt mehr Würfel zur Verfügung. Wie viele Erfolge man braucht ist dabei völlig unerheblich. Und selbst die 0 Einsen sind etwas besser als nur 7 Würfel, da ja die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges dann nicht mehr 1/3 sondern 2/5 ist, da man ja keine eins gewürfelt hat. Ich hoffe das reicht als Berechnung

[Tudor the Traveller]

Auf die Schnelle würde ich so rechnen:

7W6, 5+ = Erfolg: Pro Würfel 1/3 = Erfolg also insgesamt 7/3 für Erfolge, macht 2,3 Erfolge pro Wurf. Bei 8W6 entsprechend 8/3, also  etwa 2,7 Erfolge pro Wurf

7W6, 1en nachwürfeln: 1 fällt zu 1/6, bei 7W also mit 7/6 Wahrscheinlichkeit, etwa 117%, heißt eine 1 ist in der Regel dabei, zu 17% auch zwei 1en. Die Wahrscheinlichkeit für die 1 einen Erfolg zu würfeln ist 1/3. Bei einer gefallenen 1 entspricht das im Prinzip 8W6, es sei denn, man darf 1en auch dann nochmal wiederholen. Durch die 17% mehr 1en pro Wurf ist die Chance aber bei der "1er neu"-Variante höher, weil man sozusagen zu 17% mit 9W6 würfeln darf.

[vanadium]

Die Wahrscheinlichkeit eine 1 mit 7 Würfeln dabei zu haben ist nahezu 100%, mehrere Einsen sind auch sehr wahrscheinlich. Das nochmal würfeln ist das gleiche wie einen Würfel dazu zu nehmen. Daraus folgt:
alle Einsen wiederholen ist besser als einen Würfel mehr zu haben.

A: mit 7W6 mind. eine "1" würfeln. P(A)=1-(5/6)^7 = 72% (bei 20W6 sind wir bei 97%)
so optimistisch wie master li es sieht, ist es zwar nicht ;-) aber ich stimme zu, dass nachwürfeln hier besser ist, als 8W6 zu nehmen.
B: mit 7W6 mind. zweimal "1". P(B) = 33%. (rechnung führt hier zu weit)

Das nochmal würfeln ist das gleiche wie einen Würfel dazu zu nehmen. das stimmt m.E. nicht, denn das nachwürfeln bestimmter ergebnisse und das gleichzeitige werfen einer unterschiedlichen anzahl würfel sind zwei paar stiefel.

[Master Li]

Die korrekten Zahlen habe ich doch schon längst angegeben . Dass es nicht exakt einem zusätzlichen Würfel entspricht, ist mir klar, aber der Vorteil liegt ja auch hier bei dem Einser nochmal würfeln. Insofern ist der Unterschied zu vernachlässigen

[vanadium]

Auf die Schnelle würde ich so rechnen:

7W6, 1en nachwürfeln: 1 fällt zu 1/6, bei 7W also mit 7/6 Wahrscheinlichkeit, etwa 117%, heißt eine 1 ist in der Regel dabei, zu 17% auch zwei 1en.

117% ist sehr viel mehr als 72%... davon abgesehen: wahrscheinlichkeiten liegen per definition zwischen 0%..100% (= sicheres ereignis). nimm mal 7w6 zur hand, würfle und zähl die 1en. in 3 von 10 fällen wird keine dabei sein...

[Greifenklaue]

Da man durchschittlich 1,16667 (also 7/6tel) Einsen würfelt ist man bei 7W6 besser dran als nachwürfeln. Bei 5W6 nicht.

[vanadium]

Die korrekten Zahlen habe ich doch schon längst angegeben . Dass es nicht exakt einem zusätzlichen Würfel entspricht, ist mir klar, aber der Vorteil liegt ja auch hier bei dem Einser nochmal würfeln. Insofern ist der Unterschied zu vernachlässigen

hab für meinen beitrag so lange gebraucht und deine (korrekten) zahlen nicht gelesen gehabt.

[chainsawbeaver]

Also:

Die Wahrscheinlichkeit bei 7 Würfeln eine 1 zu bekommen (was einem weiteren Würfel entspricht, da ja nochmal gewürfelt wird):

0 = 28%
1 = 39%
2 = 23%
3 = 08%
4 = 02%
5,6,7 = Rest

Nur zu 28% hat man weniger Würfel als bei der 8w6 Methode. zu 72% ist man gleich oder besser dran (37%)

37 ist mehr als 28, demnach hat man im Schnitt mehr Würfel zur Verfügung. Wie viele Erfolge man braucht ist dabei völlig unerheblich. Und selbst die 0 Einsen sind etwas besser als nur 7 Würfel, da ja die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges dann nicht mehr 1/3 sondern 2/5 ist, da man ja keine eins gewürfelt hat. Ich hoffe das reicht als Berechnung

Ich denke ich stimme Dir zu, aber was ist die 37%? Ich bin nur verwirrt und Versuche es nachzuvollziehen. Meintest Du vllt 33% für die Fälle wo es mehr als eine 1 gibt?

[Greifenklaue]

117% ist sehr viel mehr als 72%... davon abgesehen: wahrscheinlichkeiten liegen per definition zwischen 0%..100% (= sicheres ereignis). nimm mal 7w6 zur hand, würfle und zähl die 1en. in 3 von 10 fällen wird keine dabei sein...

Mit 117% düfte eigentlich der Erwartungswert (1,17) gemeint gewesen sein, siehe mein letzter Post.

[Greifenklaue]

Ich denke ich stimme Dir zu, aber was ist die 37%? Ich bin nur verwirrt und Versuche es nachzuvollziehen.

Alle Eregnisse minus die Ereignisse null Einsen und eine eins.

[Master Li]

Ich denke ich stimme Dir zu, aber was ist die 37%? Ich bin nur verwirrt und Versuche es nachzuvollziehen.

Zu 33% hast Du 2 oder mehr einsen. Die 37% waren ein Tippfehler

[chainsawbeaver]

Zu 33% hast Du 2 oder mehr einsen. Die 37% waren ein Tippfehler

Ah, Danke.
Hatte es zeitgleich in meinem Beitrag auch noch hinzu editiert.

[Tudor the Traveller]

117% ist sehr viel mehr als 72%... davon abgesehen: wahrscheinlichkeiten liegen per definition zwischen 0%..100% (= sicheres ereignis). nimm mal 7w6 zur hand, würfle und zähl die 1en. in 3 von 10 fällen wird keine dabei sein...

Ich beuge mich natürlich der Korrektheit deiner Aussage  

EDIT: Statistisch sollten aber 1,17 einsen pro Wurf fallen 

[Eulenspiegel]

Einsen nachwürfeln kann man auch betrachten als: "1W5 würfeln und 4+ sind Erfolge."

Mal meine Rechnung:
Mit 8W6 genau k Erfolge zu haben (ohne Einsen nachwürfeln):
P(X=k) = (8 über k) * (1/3)^k * (2/3)^8-k

Mit 8w6 also mindestens 3 Erfolge zu haben:
P(X>=3) = 1-P(X<3) = 1- P(X=0)-P(X=1)-P(X-2)

Mit Einsen nachwürfeln gilt für 7 Würfel:
P₂(X=k) = (7 über k) * (2/5)^k * (3/5)^7-k

Mit 7W6 (und Einsen nachwürfeln) haben wir für 7 Würfel die folgende Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 Erfolge zu erzielen:
P₂(X>=3) = 1-P₂(X<3) = 1- P₂(X=0)-P₂(X=1)-P₂(X-2)

Ich habe momentan leider keinen vernünftigen Rechner hier. Aber ich kann dir heute Abend eine Tabelle posten, wo die konkreten Wahrscheinlichkeiten dann auch als Zahlenwerte dabei sind.

[Selganor [n/a]]

Einsen nachwürfeln kann man auch betrachten als: "1W5 würfeln und 4+ sind Erfolge."

Stimmt nicht ganz, da man scheinbar nur einmal eine Eins nachwuerfeln darf. Wenn der Nachwurf auch eine eins ist bleibt die.

Mal der Test fuer 1d6 (5+ Erfolg): 1/3+1/6*1/3 = 6/18+1/18=7/18 (also 38.88888%)
1d5 (4+ Erfolg) waere 2/5 also 40% (einen Tick mehr)

[Blechpirat]

Stimmt nicht ganz, da man scheinbar nur einmal eine Eins nachwuerfeln darf. Wenn der Nachwurf auch eine eins ist bleibt die.

Ja, das ist richtig.

[SeelenJägerTee]

Auf die Schnelle würde ich so rechnen:

7W6, 5+ = Erfolg: Pro Würfel 1/3 = Erfolg also insgesamt 7/3 für Erfolge, macht 2,3 Erfolge pro Wurf. Bei 8W6 entsprechend 8/3, also  etwa 2,7 Erfolge pro Wurf

7W6, 1en nachwürfeln: 1 fällt zu 1/6, bei 7W also mit 7/6 Wahrscheinlichkeit, etwa 117%, heißt eine 1 ist in der Regel dabei, zu 17% auch zwei 1en. Die Wahrscheinlichkeit für die 1 einen Erfolg zu würfeln ist 1/3. Bei einer gefallenen 1 entspricht das im Prinzip 8W6, es sei denn, man darf 1en auch dann nochmal wiederholen. Durch die 17% mehr 1en pro Wurf ist die Chance aber bei der "1er neu"-Variante höher, weil man sozusagen zu 17% mit 9W6 würfeln darf.

Das ist (falls ich dich nicht völlig missverstanden habe) nicht richtig.

Deine Aussage, dass mit 7/6 (117%) Wahrscheinlichkeit eine 1 Fallen würde KANN überhaupt nicht richtig sein.
Denn wir wissen dass es möglich ist bei 7 Würfeln auch 7 mal die Sechs (oder die 5 oder die 4 oder...) zu würfeln. Somit kann die Wahrscheinlichkeit für 1 gar nicht mehr 100% sein.

Korrekt rechnet sich das folgendermaßen aus:
Wahrscheinlichkeit mit 1 Würfel keine 1 zu würfeln: 5/6
Wahrscheinlichkeit mit n Würfeln keine 1 zu würfeln: (5/6)ⁿ (hier (5/6)⁷ = 0,279 - also in 27,9% aller Fälle hast du keine einzige 1 dabei.)
(Es ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Würfel KEINE 1 zu würfeln. Diese Wahrscheinlichkeiten verhalten sich multiplikativ nicht additiv. Deswegen hast du 5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6*5/6 = (5/6)⁷ und NICHT 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 7/6.

[Blechpirat]

Ich habe momentan leider keinen vernünftigen Rechner hier. Aber ich kann dir heute Abend eine Tabelle posten, wo die konkreten Wahrscheinlichkeiten dann auch als Zahlenwerte dabei sind.

Das wäre toll! So in Prozent, damit auch ich mir was darunter vorstellen kann. Hach!