Thema: Mathematische Frage: Würfel

[gunware]

Ich bin leider nicht in der Theorie gut genug, um mir das selbst auszurechnen und da dachte ich mir, dass mir hier jemand helfen könnte.
Vielen Dank im Voraus, falls es jemanden genug interessieren würde, um die Formel(n) zu entwickeln.

Das Problem:
2w10 => Beispiel: ein roter und ein weißer 10-seitiger-Würfel; roter Würfel würfelt negative Zahlen, weißer Würfel würfelt positive Zahlen; die gewürfelten Werte werden addiert. (So, bis dahin wäre es für mich kein Problem, aber das ist leider nicht das Ende.)

Es gibt diese Möglichkeiten:

a ) keins der Würfel zeigt eine Null: die Würfel werden addiert. (Beispiel: roter -7; weißer 3: Ergebnis -4)

b ) Beide Würfel zeigen 0: es wird nochmal gewürfelt, die höhere Zahl zeigt an, ob es ein hervorragender Erfolg oder Patzer war (je öfter man würfeln muss, bis diese Entscheidung eindeutig geklärt ist, desto schlimmer oder hervorragender das Ergebnis ist).

c ) Ein Würfel zeigt 0: der andere Würfel wird so oft gewürfelt, bis er eine andere Zahl als die ursprüngliche anzeigt; alles wird zusammen addiert; 0 zählt beim Nachwürfeln als Null. (Beispiel: roter Würfel 0; weißer Würfel: 3; weißer Würfel wird nochmal gewürfelt, zeigt 3; nochmal würfeln, zeigt 5;  dh. Ergebnis ist 3+3+5=11)

Ich würde gerne wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine bestimmte Zahl zu würfeln.

Die Chance auf Patzer oder Hervorragenden Erfolg müsste meiner Meinung nach bei jeweils 0,5% sein, stimmt es?
Die Chance auf Ergebnis 0 müsste 9% sein.
Die Chance auf Ergebnis -1 (resp. 1) müsste minimal über 8% sein; Beispiel: für die -1 wären es 8 Würfe in der Form rot um 1 höher als weißer plus bei dem Wurf (-1;0), roter Würfel nochmal gewürfelt, da weißer Würfel eine 0 gezeigt hatte, nachgewürfelter roter Würfel zeigt 0.)

und da lassen mich bereits meine Fähigkeiten im Stich.

Gibt es eine "einfache" Formel* um die Chancen eine bestimmte Zahl zu bekommen zu berechnen? Zum Beispiel: wie groß ist die Chance eine 5 zu bekommen. Oder eine -99?
Kann man es auch graphisch darstellen?

*gemeint ist eine quasi einfachere Formel als nur durch Try&Error in Tabellenkalkulation zu versuchen die Kästchen zu zählen und dann zu rechnen.

_____

Falls die Erklärung zu konfus klingt, bitte nachfragen, ich kann es zwar nicht besser erklären, aber ich kann an mehreren Beispielen erklären, wie es gemeint ist; was dann verständlich sein müsste.

[gunware]

Vielleicht hilft eine Skizze (siehe angehängte Datei).

EDIT: es ist mir ein Fehler aufgefallen, in der Abfrage, ob Patzer oder nicht, müsste die Formel eigentlich |A|>|B| lauten. Es geht bei der Abfrage um den Betrag der Zahl und nicht um die Größe. Sorry.

[gelöscht durch Administrator]

[rettet den wald]

Um deine Frage zu beantworten: Kommt drauf an was du unter "einfach" verstehst. Für mich sind z.b. die geometrischen Wahrscheinlichkeiten die sich durch Abzählen von Kästchen in der Tabelle ergeben ziemlich einfach zu verstehen.

Ansonsten: Ja, du hast mit dem was du bisher gesagt hast Recht. Kritisch ist jeweils 0.5%, 0 ist 9%. Für alle anderen Ergebnisse brauchst du schon eine Summe aus 2 Einzelwahrscheinlichkeiten (wobei einer der Summanden zugegebenermaßen ziemlich einfach ist). Das eigentlich komplizierte an diesem Beispiel sind die Neuwürfel-Sachen... Aber stellen wir mal eine grundsätzliche Formel auf, um die geometrischen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen:

P(0) = 0.09
P(1) = 0.08 + G(1)
P(2) = 0.07 + G(2)
P(3) = 0.06 + G(3)
P(4) = 0.05 + G(4)
P(5) = 0.04 + G(5)
P(6) = 0.03 + G(6)
P(7) = 0.02 + G(7)
P(8) = 0.01 + G(8)

P(x) = G(x), für alle x größer als 8.
P(-x) = P(x), für alle x kleiner als 0.

...wobei G(x) die Wahrscheinlichkeit ist, aufgrund von Neuwürfeln ein Ergebnis von x zu bekommen. Um G(x) zu berechnen brauchen wir 3 Werte, das ursprüngliche Würfelergebnis (u), die Anzahl der Neuwürfelungen (n) und das zweite Ergebnis (z). x = u*n + z. Jetzt wissen wir aber folgendes: u ist gleichverteilt zwischen 1 und 9, also jeweils 1/9 für jeden Wert. n ist 1 in 90% der Fälle, 2 in 9% der Fälle, 3 in 0.9% der Fälle, usw. Also 9*10^-n. z ist gleichverteilt zwischen 0 und 9, wobei u ausgeschlossen ist, was wieder eine Wahrscheinlichkeit von 1/9 ergibt.

Jetzt müssen wir im Prinzip nur noch für das gesuchte x herausfinden, auf wie viele verschiedene Arten dieses x mit der obigen Formel zustande kommen kann, und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addieren. Daher:

G(x) = 0.09 * Summe[x = u*n + z]( 10^-n/9 ).

...Das allein ist allerdings noch ziemlich nutzlos. Wie ich diese Summe intelligent auflösen kann weiß ich aber selbst nicht so wirklich. Wenn ich das machen würde, dann würde ich jetzt eine Enumeration über den Wertebereich von u versuchen, aber laut Ausgangspost scheinst du das nicht zu wollen... Naja, meld dich einfach mal zurück ob dir mein bisheriger Gedankengang weitergeholfen hat, oder ob ich irgendwo Fehler gemacht habe.

[Eulenspiegel]

Die Chance auf Patzer oder Hervorragenden Erfolg müsste meiner Meinung nach bei jeweils 0,5% sein, stimmt es?

Ja.

Die Chance auf Ergebnis 0 müsste 9% sein.

Nein.
Die Chance "Rot = 0 und Weiß ungleich 0" ist 9%.
Ebenso die Chance "Weiß = 0 und Rot ungleich 0" ist 9%.

Die Chance auf "mindestens 1 Null gewürfelt" liegt bei
P(R=0 v W=0) = 1 - 0,9² = 1 - 0,81 = 0,19 = 19%

Die Chance auf "genau eine Null gewürfelt" liegt bei:
P = 0,19 - 0,01 = 0,18 = 18%

Die Chance auf Ergebnis -1 (resp. 1) müsste minimal über 8% sein; Beispiel: für die -1 wären es 8 Würfe in der Form rot um 1 höher als weißer plus bei dem Wurf (-1;0), roter Würfel nochmal gewürfelt, da weißer Würfel eine 0 gezeigt hatte, nachgewürfelter roter Würfel zeigt 0.)

EDIT: Dachte, der Nullwürfel wird nochmal gewürfelt. Beim nochmal lesen ist mir jedoch aufgefallen, dass der andere Würfel erneut gewürfelt. Daher gilt das folgende erstmal nicht.

Wir würfeln erst den weißen Würfel. Und hier eine Fallunterscheidung:
1. Fall: Der weiße Würfel zeigt 2-9
Dieser Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% auf. Anschließend würfeln wir mit dem roten Würfel solange, bis er keine Null zeigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf, der keine Null ist, eine Zahl niedriger als bei weiß ist, liegt bei 1/9 = 11,11111...%

Wir multiplizieren das und erhalten:
P = 0,8*0,1111111... = 0,08888888... = 8,888888...%

2. Fall: Der weiße Würfel zeigt eine Null.
Dieser Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% auf.
In diesem Fall werfen wir den weißen Würfel solange, bis er keine Null mehr zeigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel anschließend eine 2-9 zeigt, liegt bei 8/9 = 88,88888...%
Anschließend würfeln wir den roten Würfel. Er darf KEINE Null zeigen. (Da wir sonst Patzer/kritischer Erfolg hätten) Die Wahrscheinlichkeit, dass der rote Würfel also genau eine Zahl tiefer würfelt als der weiße, liegt bei 10%.

Wir multiplizieren alles und erhalten:
P = 0,1 * 8/9 * 0,1 = 0,008888888... = 0,8888888...%

Da der 1. und 2. Fall disjunkt sind, können wir die Wahrscheinlichkeiten einfach addieren und erhalten:
P(R+W=1) =  8,888888...% + 0,8888888...% = 9,777777...%

Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei fast 10%.

Zum Rest evtl. demnächst mehr, falls ich mehr Zeit habe.

2. EDIT: OK, hier jetzt das richtige Ergebnis:
1. Fall: Der rote Würfel zeigt 0
Wahrscheinlichkeit für Eintreten: 10%. Mit weißen Würfel würfel ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% eine 1 und anschließend mit 10% eine 0.

Daher P = 0,1 * 0,1 * 0,1 = 0,001 = 0,1 %

2. Fall: Der rote Würfel zeigt 1-8
Wahrscheinlichkeit für eintreten: 80%. Der zweite Würfel zeigt nun mit 10% Wahrscheinlichkeit eine um 1 höhere Zahl.

Daher P = 0,8 * 0,1 = 0,08 = 8%.

Gesamtwahrscheinlichkeit P(R+W=1) = 8% + 0,1% = 8,1%

[Isdariel]

Nein.
Die Chance "Rot = 0 und Weiß ungleich 0" ist 9%.
Ebenso die Chance "Weiß = 0 und Rot ungleich 0" ist 9%.

Die Chance auf "mindestens 1 Null gewürfelt" liegt bei
P(R=0 v W=0) = 1 - 0,9² = 1 - 0,81 = 0,19 = 19%

Die Chance auf "genau eine Null gewürfelt" liegt bei:
P = 0,19 - 0,01 = 0,18 = 18%

Was du ausgerechnet hast, ist korrekt. Das Ergebnis 0 lässt sich jedoch nicht mehr erreichen, wenn genau einer der Würfel eine 0 zeigt.
Wenn hingegen beide Würfel die selbe Augenzahl würfeln (abzüglich der Doppel-0), gibt es neun Kombinationen, die zum Erfolg führen: [9,-9] [8,-8] [7,-7] ... [1,-1], daher die 9% vom Threadersteller.

[Eulenspiegel]

Ah, das ist mit Ergebnis 0 gemeint. Ich hatte es so verstanden, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fall b) eintritt.

[gunware]

Vielen herzlichen Dank, dass Ihr mir helfen wollt.

  Mein altersschwaches Gedächtnis lässt mich jetzt sehr stark spüren, dass die Schule schon viel zu lange vorbei ist. Ich muss mir das bisschen langsamer durch den Kopf gehen lassen.

Hat Euch die Skizze bisschen geholfen? Da dürften die verschiedene Fälle besser dargestellt worden sein.

@Eulenspiegel, mir kommt aber die Betrachtung, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, ob eine 0 fällt oder nicht, irgendwie nicht zielführend. Oder übersehe ich dabei etwas? Ist es dann für die weiteren Berechnungen notwendig?

@Rettet den Wald: ich glaube, dass ist der richtige Weg. Aber leider hast Du mich bei der Formel verloren. Könntest Du es mit Summenzeichen aufmalen? Und was meinst Du mit: Enumeration über den Wertebereich? Und warum will ich es nicht? Vielleicht will ich es, nur ich weiß nicht, was es ist.

@Isdariel, genau so bin ich auf die 9% gekommen.

[Grey]

@gunware: Nur aus Interesse, warum wird eigentlich neu gewürfelt, wenn einer der beiden Würfel 0 zeigt?

[rettet den wald]

@Rettet den Wald: ich glaube, dass ist der richtige Weg. Aber leider hast Du mich bei der Formel verloren. Könntest Du es mit Summenzeichen aufmalen? Und was meinst Du mit: Enumeration über den Wertebereich? Und warum will ich es nicht? Vielleicht will ich es, nur ich weiß nicht, was es ist.

Das Summenzeichen meint, dass ich einfach für alle Terme, für die "x = u*n + z" wahr ist, einen Term 10^-n/9 zum Ergebnis dazuaddiere, wobei das n in diesem Term identisch mit dem n aus der Formel ist. Beispiel:

x = 3. Dafür gibt es folgende Möglichkeiten:
-> u = 1, n = 3, z = 0
-> u = 1, n = 1, z = 2
-> u = 2, n = 1, z = 1

Das heißt ich habe ein G(x) = 0.09 * (10^-3/9 + 10^-1/9 + 10^-1/9) = 0.00201.
Daher: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis von 3 zu haben, ist 0.06 + 0.00201 = 0.06201, also 6.201%.


...Enumeration wäre im Prinzip genau das: Summe[x = u*n + z]( 10^-n/9 ) = Summe[x = i*n + z, i=1->9]( 10^-n/9 ). Ich stelle für alle möglichen Werte von u also eigene Gleichungen auf und addiere hinterher die Ergebnisse. Anschließend kann ich für jede dieser Subgleichungen wieder schauen, welche Werte für n und z auf ein gültiges x führen.

[gunware]

@Grey: Schicksal. Alle Würfel ohne 0 sind normal ausgegangene Proben. Bei Ergebnis mit 0 schlägt Schicksal zu. Entweder ganz stark (beide 0) oder anhaltend (nur einer ist 0) in eine Richtung, Pech oder Glück.
Wenn z.B. Ergebnis = 4 durch gewürfelte [-1;5] zustande kommt, dann ist es dank Fähigkeiten des Chara gelungen. (Er hat ein Floß gebaut; nichts mehr und nichts weniger). Wenn das gleiche Ergebnis durch gewürfelte [0;1];[1] [2] gekommen ist (dh. roter Würfel 0, weißer Würfel 1, nochmal würfeln 1, nochmal würfeln 2), dann hat Schicksal seine Hände im Spiel gehabt. (Das Floß, das er gebaut hat, bekommt 2 Glücksmarker (2×nachgewürfelt). Jetzt als einfaches Beispiel.)

Vorläufig (negativ braucht man nicht zu betrachten, denn die Ergebnisse sind gespiegelt):
Hervorragender Erfolg: 0,5%
0 mit Wahrscheinlichkeit 9%
1 mit Wahrscheinlichkeit 8,1%
___
2 sind dann die Möglichkeiten: [-1;3];[-2;4];[-3;5];[-4;6];[-5;7];[-6;8 ];[-7,9]; dann nach [0;2] [0 ] ; nach [0;1] [1] [0 ]  ;

___
3 mit Wahrscheinlichkeit 6,201% sind diese Möglichkeiten: [-1;4];[-2;5];[-3;6];[-4;7];[-5;8 ];[-6;9]; dann nach [0;3] [0 ] ; nach [0;2] [1] ; nach [0;1] [2] ; nach [0;1] [1] [1] [0 ]
___
4 mit diesen Möglichkeiten: [-1;5];[-2;6];[-3;7];[-4;8 ];[-5;9]; dann nach [0;4] [0 ] ; nach [0;3] [1] ; nach [0;2] [2] [0 ]; nach [0;1] [3] ; nach [0;1] [1] [2]; nach [0;1] [1] [1] [1] [0 ]

usw.

@rette den wald: dh. falls ich es richtig verstanden habe, müsste ich für jedes mögliche "Nachwürfeln" eine Summe bilden? Und die dann zusammen addieren?

Könnte man auch feststellen, ab wann sich das "Rechnen" nicht mehr lohnt, wenn man auf 2 Stellen hinter Komma die Wahrscheinlichkeiten haben möchte?

Dann könnte ich mit den Ergebnissen eine Kurve malen, wie wahrscheinlich ist es, ein Ergebnis zu bekommen. Und ab welcher Zahl die Wahrscheinlichkeit, zu diesem Ergebnis zu kommen, unter 0,01% sinkt.

[Eulenspiegel]

@grey
Ich nehme mal an, er will so etwas ähnliches wie explodierende Würfel in seinem Würfelmechanismus haben.

@gunware
Eine Idee, wie man noch die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen könnte:

P(x) = D(x) + Summe_{k=1}^9 N_k(x)

D(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel ungleich Null sind und du x mit der Differenz erwürfelst. (Also der Standardfall für Werte zwischen -8 und 8.)

N_k(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass du mit einem Würfel Null würfelst, mit dem anderen Würfel k würfelst und insgesamt x erwürfelst.

Wir haben nun:
P(x) = P(-x)
D(x) = (9-|x|)/100 für |x| <9
D(x) = 0 für |x| > 8.

Für N_k(x) gilt:
Ich kann x schreiben als
x = u*k + z

(Notation vom Waldretter geklaut. )
Das heißt, ich würfle erst u mal das k und anschließend das z. Die Schwierigkeit: u und z sind nicht eindeutig. Wie berechne ich also alle möglichen u und z?
Es gilt:
Falls k = 9:
u = abrunden(x/9)
z = x/9 modulo 9 bzw. z = x - u*k

Falls k < 9:
Hier muss man eine Abschätzung machen:
u >= aufrunden((x-9)/k) = u1
und
u <= abrunden (x/k) = u2

z = x - u*k

Nun kann man locker die Wahrscheinlichkeit
G_{k,u}(x) ausrechnen, dass man erst u mal k und anschließend z würfelt, um auf x zu kommen. Mit einer Besonderheit: G_{k,u}(x) = 0, falls z=k. (Das heißt, G_{k,u}(x) wird Null, wenn man rechnerisch erst u mal k würfelt und dann anschließend nochmal z=k nachwürfelt, um x zu erlangen.

Dann hätten wir
N_k(x) = Summe_{u=u1}^u2 G_{k,u}(x)

G_{k,u}(x) wiederum lässt sich wie folgt aufschreiben:
G_{k,u}(x) = 0, falls k = x- u*k
G_{k,u}(x) = 0,1 *0,1^u * 0,1, falls k != x-u*k

Zur Begründung:
0,01 ist die Wahrscheinlichkeit, mit dem roten Würfel eine Null zu würfeln. 0,1^u ist die Wahrscheinlichkeit, mit dem weißen Würfel u mal ein k zu würfeln. 0,1 ist anschließend die Wahrscheinlichkeit, das gewünschte z zu würfeln.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist demzufolge:

P(x) = D(x) + Summe_{k=1}^9 Summe_{u=u1}^u2 G_{k,u}(x)

So, hoffe, ich habe nichts übersehen. Heute abend kann ich das ganze ja mal versuchen zu plotten.

Btw, hast du R? Dann könnte man dort ein relativ einfaches Programm schreiben, dass das ganze berechnet und als Plot ausgibt.

[gunware]

@grey
Ich nehme mal an, er will so etwas ähnliches wie explodierende Würfel in seinem Würfelmechanismus haben.

und das auch. Wobei Ergebnisse unter -8 oder über 8 nur mit Hilfe des Schicksals möglich sein sollten.

@Eulenspiegel
Vielen Dank, ich muss mir das in Ruhe ansehen und die Summen aufschlüsseln. Hier habe ich irgendwie kein Überblick. Schon viel zu lange keine Mathe gehabt, deswegen muss ich es mit den Summenzeichen sehen, damit ich den Hauch einer Chance habe, es zu kapieren.

Und dieses "R" muss ich nachschauen, bis jetzt habe ich es nicht gekannt. Ich schaue zu Hause nach, ob es in meiner Urpmi-Liste steht. Dann ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass es arbeiten wird. Wobei ich noch schauen muss, ob und wie ich das Programm bedient hinkriege. Falls es Dir Spaß macht, Du genug Zeit hast und Lust das zu machen , dann werde ich überhaupt nichts dagegen haben, wenn Du mir den Quellcode geben könntest.

[rettet den wald]

Könnte man auch feststellen, ab wann sich das "Rechnen" nicht mehr lohnt, wenn man auf 2 Stellen hinter Komma die Wahrscheinlichkeiten haben möchte?

Das Rechnen lohnt sich spätestens nach 81 Summanden nicht mehr. Denn mehr als 9*9 Möglichkeiten für die beiden Würfelergebnisse gibt es nicht. Für diese 81 Summanden schaut man dann nach, ob ein n existiert für das die Gleichung erfüllt ist. Wenn ja: Dazuaddieren.

[Eulenspiegel]

So, hier ist jetzt das Programm für R, eine Grafik, die die Wahrscheinlichkeiten für -25 bis +25 aufzeigt sowie eine Tabelle, die die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte angibt.

[gelöscht durch Administrator]

[gunware]

Eulenspiegel, vielen herzlichen Dank.
Ich habe leider gestern nicht so viel Zeit gehabt, wie ursprünglich gedacht, deswegen kam ich nur dazu, mir R zu installieren, zu starten und darauf zu starren. Bevor ich herausgefunden hätte, wie es arbeiten soll, wäre wahrscheinlich die Woche um.
Deswegen vielen Dank, dass Du mir die Arbeit abgenommen hast.

Wenn ich das richtig sehe, heißt das, dass die Wahrscheinlichkeiten verrückt spielen. Es ist wahrscheinlicher, eine 19 (oder eine 25) zu würfeln, als die 18 (oder die 24). Die Spitze um die Null ist angenehm hoch, dann fällt es zwar ein bisschen zu schnell, aber das ist alles in Ordnung. Nur die "Welle" um die -24, -19, 19 und 24 gefällt mir nicht, weil sich das entsprechend immer weiter so fortsetzen wird (gehe ich jetzt einfach davon aus). Es ist mir klar, dass die Wahrscheinlichkeit erst in richtigen Randbereichen zu spinnen anfängt, aber mir gefällt nicht, dass sie es überhaupt tut.

Ich hätte gern noch gewusst, wie es sich beim Erreichen eines Mindestwurfs verhält (wie groß die Wahrscheinlichkeiten sind, einen bestimmten MW zu erreichen), aber wenn die Wahrscheinlichkeit so eine unschöne Welle hat, dann bin ich gar nicht überzeugt, dass sich das lohnt, weiter zu verfolgen. Denn diese Welle würde sich dort auch bemerkbar machen. Und das wäre nicht schön.

Hmmm ...

Ich probiere es trotzdem kurz aus.

Das müsste eigentlich ganz einfach sein, oder? 1% ist immer außergewöhnlicher Wurf (Patzer/Erfolg), dass heißt die Wahrscheinlichkeiten ab bestimmter Zahl summieren und dann von 99% abziehen und ich müsste die Wahrscheinlichkeit haben, wie schwer es ist, einen bestimmten Mindestwurf zu erreichen.
Ich mache es jetzt und hänge es dann hier rein. Mal schauen, ob sich dort neue Fragen auftun.

[Grey]

@Grey: Schicksal. Alle Würfel ohne 0 sind normal ausgegangene Proben. Bei Ergebnis mit 0 schlägt Schicksal zu. Entweder ganz stark (beide 0) oder anhaltend (nur einer ist 0) in eine Richtung, Pech oder Glück.

Aah, jetzt verstehe ich, der neu gewürfelte Würfel wird zu seinem bisherigen Ergebnis _addiert_! Das hatte ich übersehen. Alles klar.

[gunware]

Hm, hm, hm.

Die Kurve (wie man sehen kann) ist ziemlich steil, aber ich sehe keine Wellen. Wenn man gedanklich die beiden Ergebnisse vergleicht, sagen wir, wenn man nur alles nimmt was ungefähr in 90% der Fälle gewürfelt wird, bewegt man sich zwischen -9 und 9. Alles andere ist dann ziemliches Glück. Mit mehr als 98% alle Fälle erreicht man die Werte, bevor die Welle überhaupt sichtbar wird.
Wenn ich nur die Werte für die Mindestwürfe zwischen -9 und 9 betrachte, ist die Kurve eigentlich der von GURPS ziemlich ähnlich. (Ich hoffe, dass es keine optische Täuschung ist.)

An sich sieht es nicht schlecht aus, aber die Welle bei der Betrachtung der Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu würfeln gefällt mir immer noch nicht, obwohl sie sich in der Betrachtung, ob man ein Mindestwurf erreicht, ohne Probleme wegbügelt. Sie ist ja weit genug an den totalen Außenbereichen.

Hm, hm, hm. Ich muss darüber nachdenken.
Falls Euch etwas dazu einfällt, dann her damit.

Und vielen herzlichen Dank für die Hilfe.

[gelöscht durch Administrator]