Thema: Hallo Mathematiker! Könnt Ihr mir helfen?

[Dirk]

Ich brauche dringend Hilfe. Mein Haus- und Hofmathematiker ist für längere Zeit nicht zu erreichen. Daher bitte ich demütigst und hoffnungsvoll um Hilfe hier im Forum.

Ich versuche es so verständlich wie nur irgendwie möglich zu machen!

Ein Pool von W-10en. Es sind immer 10 Würfel. Jetzt möchte ich zwei Seiten darstellen. Dabei bilden die zwei Seiten zusammen immer den Würfelpool. Ausgedrückt kann das dann mit, z.B.: 1:9 oder 6:4 werden. Damit sind also 17 9 Kombinationen möglich. Ja, ich rechne auch 4:6 und 6:4 als zwei verschiedene Kombinationen - bei 5:5 ist es Wurscht. (das nur am Rand)

Jetzt kommt der erste Teil meiner Schwierigkeit. Der Pool wird gewürfelt. Die Würfel der zwei Seiten sind gekennzeichnet. Es gewinnt die Seite mit der höchsten Zahl. Besteht da Gleichstand kommt das nächst höhere Paar an die Reihe, usw.
Erste Aufgabe: welche Seite gewinnt bei den 17 Kombinationen? Mit den Angaben der wahrscheinlichsten Werte pro Kombination, so bis zur 1%-Grenze.

Die zweite Schwierigkeit: die beiden höchsten Werte werden voneinander subtrahiert, das heißt der Gewinner minus den Verlierer. Um wie viel gewinnt die Seite dann. Das ist dann für die oben erwähnten wahrscheinlichsten Werte anzugeben.

Drittens: die beiden höchsten Werte jeder Seite addiert können einen Schwellenwert von 12 erreichen oder übertreffen. Wie hoch ist diese Wahrscheinlichkeit bei den angegebenen Werten dann jeweils?

Ist das verständlich?


Vielen Dank im Voraus,

MfG
Dirk


Edit: die 17 ist falsch, richtig ist 9! Danke Chiungalla!

[Chiungalla]

Damit sind also 17 Kombinationen möglich. Ja, ich rechne auch 4:6 und 6:4 als zwei verschiedene Kombinationen - bei 5:5 ist es Wurscht. (das nur am Rand)

Eigentlich sind damit nur 9 Kombinationen möglich:
1:9
2:8
3:7
4:6
5:5
6:4
7:3
8:2
9:1

Oder wo zauberst Du die verbliebenen 8 Kombinationen her?

[Dirk]

Ich hatte erwähnt, dass die anderen auch zählen -die Spiegelseiten, sozusagen... Der Einfachheit halber kann man die ja weglassen und den Rest mache ich dann. Es ist mir nämlich nicht egal, welche der Seiten, da kommt sozusagen noch etwas - aber ab da kann ich das auch selbst einrechnen.

Vielen Dank,

MfG
Dirk

[Chiungalla]

Ähm, in den 9 sind doch die Spiegelseiten drin.
Oder ich verstehe nicht ganz, was Du mit Spiegelseiten eigentlich meinst.

[Dirk]

Klar sind sie das. Mathematisch schon.

Ist jetzt auch egal.

Die 9 Kombinationen reichen auch!

MfG
Dirk

[Dirk]

Hi Chiungalla!

OMG! Natürlich hast Du Recht! Keine Ahnung wie ich auf 17 kam. Ich war immer bei 9 Werten und brauchte in Gedanken zuerst immer nur die erste Hälfte der Kombinationen, also bis 5:5.

Als ich den Thread schrieb hatte sich meine Auflage diesbezüglich geändert und daher addierte ich einfach noch mal lustig die 9 (minus die eine Kombination, die 5:5, die ich ja schon hatte!!! - wie saublöd!), so kam ich auf die 17! Totaler Blodsinn!

Danke für das richtige und eifrige Richtigstellen!

MfG
Dirk

PS: es sind also nur 9 Kombinationen!!!

[Greifenklaue]

Ich hab es noch nicht richtig gecheckt.

Haben beide Seiten einen 10W10-Pool.

Dann wäre es abzüglich der unentschieden eine 50/50-Chance.

[Woodman]

Wenn ich das richtig verstehe gibt es einen 10W10 pool, der auf beide parteien aufgeteilt wird, die partei mit mehr würfeln hat halt bessere chancen.

[Greifenklaue]

Achso, die obere Seite ist meine Seite, die Spiegelseite die des Gegenübers. So?

Würde aber nix an der 50:50-Situation ändern, naja abzüglich der Unentschieden, die aber praktisch gegen unter 1% liegen dürften.

Das 50:50 würde ja erst kippen, wenn eine Partei höhere Mindestwürfe hätte als die andere oder die Anzahl Würfel unterschiedlich wäre!?

[Eulenspiegel]

Eine Seite hat doch mehr Mindestwürfe.
Bei 9:1 habe ich zum Beispiel 9W10 und du hast nur 1W10.
Wer von uns beiden wird wohl das höhere Ergebnis würfeln?

zur Eingangsfrage:
Wir berechnen erstmal die Wahrscheinlichkeit für max{1W10, 1W10,...}=x.
Wir haben n Würfel. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum gleich x ist, ist ja gerade die Wahrscheinlichkeit, dass alle Würfel höchstens x haben minus der Wahrscheinlichkeit, dass alle Würfel höchstens x-1 zeigen.

Wir haben also:
P(max{...}=x) = (x/10)ⁿ-((x-1)/10)ⁿ

Jetzt ist natürlich die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir gewinnen, wenn unserer Wurf x ist und der Gegner mit 10-n Würfeln dagegen würfeln kann?
Das ist natürlich die Wahrscheinlichkeit, dass der Gegner nur Zahlen würfelt, die kleiner als x sind.
Und diese Wahrscheinlichkeit ist:
P(max{...}<x))=((x-1)/10)^10-n

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass wir ein x würfeln und gewinnen liegt also bei:
((x/10)ⁿ-((x-1)/10)ⁿ) * ((x-1)/10)^10-n


Jetzt müssen wir nur noch über alle x sumieren.
Wir erhalten also als Endergebnis:
P(wir gewinnen) = Summe über x (P(wir gewinnen mit x))
=sum ((x/10)ⁿ-((x-1)/10)ⁿ) * ((x-1)/10)^10-n

= ((2/10)ⁿ-(1/10)ⁿ) * (1/10)^10-n
+((3/10)ⁿ-(2/10)ⁿ) * (2/10)^10-n
+((4/10)ⁿ-(3/10)ⁿ) * (3/10)^10-n
+((5/10)ⁿ-(4/10)ⁿ) * (4/10)^10-n
+((6/10)ⁿ-(5/10)ⁿ) * (5/10)^10-n
+((7/10)ⁿ-(6/10)ⁿ) * (6/10)^10-n
+((8/10)ⁿ-(7/10)ⁿ) * (7/10)^10-n
+((9/10)ⁿ-(8/10)ⁿ) * (8/10)^10-n
+((10/10)ⁿ-(9/10)ⁿ) * (9/10)^10-n

Und für n trägst du ein, wieviele Würfel du zur Verfügung hast. (Im Kopf ausrechnen wäre etwas mühselig. Aber mit Word oder OpenOffice sollte das problemlos möglich sein.)

[Greifenklaue]

Eine Seite hat doch mehr Mindestwürfe.
Bei 9:1 habe ich zum Beispiel 9W10 und du hast nur 1W10.
Wer von uns beiden wird wohl das höhere Ergebnis würfeln?

Ahh, ich glaub, jetzt hab ich die Würfelmechanik kapiert...

[Dirk]

Ganz schnell: Danke für die Geistesarbeit!

Ich schaue später wie sich das händeln lässt...

MfG
Dirk

[Boba Fett]

Nur eine Idee:

2 Parteien agieren gegeneinander. Beide haben Qualität und Quantität als Maß.
Qualität mißt, wie gut sie in dem agieren sind,
Quantität, wie viele es sind, wie zäh sie sind, oder ähnliches.

10w10 werden gewürfelt.

Wenn beide Parteien gleichstark sind, wird bei 5 geteilt, alle Würfel die kleiner oder gleich 5 sind, gelten als Erfolge der einen Partei, die über 5 als Erfolge der anderen Partei. Ich nenne die 5 mal "Schwelle".
Wenn eine Partei stärker als die andere ist, verschiebt sich die Schwelle um das Maß der "Übermacht".
Die Schwelle ergibt sich also aus "5 plus der Differenz der Qualitäten". (kann auch negativ sein)

Die Anzahl der Erfolge der Beiden reduzieren die Quantität der jeweis anderen Partei.
Zum Beispiel könnten die Erfolge von einer "Quantität" abgezogen werden, die die Menge, die Ausdauer oder die Lebenskraft der Partei darstellt. Sinkt die Kapazität auf 0 ist die Partei "aufgerieben".
Bei direkten Vergleichen könnte die Quantität beider auch auf 1 gesetzt werden, so kann 1 Wurf dann über den Gewinn entscheiden.

Verständlich?

[Dirk]

Sehr verständlich, Boba. Herzlichen Dank für eine weitere, gute Idee!

Meine Mechanik ist aber so gut wie sicher, nur die Werte müssen mal gecheckt werden. Deshalb meine Aufgabenverteilung hier im Thread.

Heute Abend werde ich schlauer sein ob und wie mir das hilft, bzw., wie ich weiter verfahren muss - eventuell mit weiteren Fragen an unsere Mathematiker hier...

MfG
Dirk

PS: bin dennoch auf weitere Lösungsvorschläge gespannt!

[Dirk]

So!

Hier ist mein Ergebnis!

Ich bräuchte nur mal einen Lehrer, der sagt: "Gut gemacht!" oder "Hmmh, das sieht net gut aus...!"


                                                                      Würfel
Gewinnerzahl

     1            2            3         4         5          6         7           8          9
2   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%
3   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%
4   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%
5   0,00%   0,01%   0,02%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%
6   0,02%   0,04%   0,16%   0,03%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%
7   0,10%   0,22%   0,83%   0,27%   0,04%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%
8   0,40%   0,86%   3,25%   1,97%   0,59%   0,00%   0,00%   0,00%   0,00%
9   1,34%   2,85%   9,79%   11,16%   6,75%   0,26%   0,00%   0,00%   0,00%
10   3,87%   8,18%   22,41%   48,90%   59,05%   65,61%   72,90%   81,00%   90,00%
   5,74%   12,16%   36,46%   62,33%   66,43%   65,87%   72,90%   81,00%   90,00%

Besonders die 5er Würfel Reihe macht mich skeptisch! Jede Seite, denn jede hat ja 5 Würfel im 10er Pool, besitzt eine 66,43% Chance zu gewinnen???

Oder wo liegt mein Fehler?

MfG
Dirk

[Eulenspiegel]

Also ich komme auf folgende Tabelle:

	1	2	5
2	0	0	0
3	0	0	0
4	0	0	0
5	0	0,01%	0,02%
6	0,02%	0,04%	0,15%
7	0,1%	0,22%	0,7%
8	0,4%	0,86%	2,68%
9	1,34%	2,85%	8,61%
10	3,87%	8,18%	24,18%
gesamt	5,74%	12,16%	36,35%

Das man bei 5:5 nur 36,35% Erfolgswahrscheinlichkeit hat, liegt daran, dass man mit 40,95% Wahrscheinlichkeit eine 10 würfelt. Das heißt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 16% würfeln beide Parteien eine 10. (Und mit einer Wahrscheinlichkeit von 7% würfeln beide Parteien eine 9.)
Insgesamt besteht eine Wahrscheinlichkeit von 27%, dass beide Parteien Gleichstand erzielen, falls das Verhältnis 5:5 ist.

[Dirk]

Eulenspiegel, I love You!

Vielen Dank!

Habe gerade meinen Fehler entdeckt - dank Dir!

Sowieso, ohne deine Hilfe wäre ich noch immer im Nirvana!

Thx!

MfG
Dirk

[Dirk]

Lieber Eulenspiegel,

kann ich Dich noch ein wenig mehr missbrauchen?

Wie berechne ich dann für jede Kategorie folgendes  aus:

Der höchste Wurf einer Seite minus dem höchsten Wert der anderen Seite ergibt 1 oder 2 oder 3, etc. bis 9! Wie hoch ist die jeweilige Wahrscheinlichkeit für diese 9 Ergebnisse? Das lässt sich doch mit den schon errechneten Tabellen bewerkstelligen, oder?

MfG
Dirk

[Dirk]

Eine vorsichtige Vermutung, bezogen auf meine vorhergehende Frage:

Ist die Chance dann (x/10)n-((x-2)/10)n für einen um 2 schlechteren Wert? Und x-3/10 für 3, usw?

Muss ich das dann für jeden höchsten Wert extra machen? Zum Beispiel: 5:5 Kategorie. 10 ist der höchste Wert. Die Wahrscheinlichkeit mit einem Punkt Abstand zu verlieren ist x-1, mit 2 zu verlieren ist x-2, usw. Um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bekommen summiere ich alle verbleibenden Werte auf: Also 9 als max und dann x-1 für den Einzerabstand, bzw. x-2 für den Zweierabstand, usw. bis nicht mehr subtrahiert werden kann?

MfG
Dirk

[Eulenspiegel]

Nein.
Sei wieder n die Anzahl der Würfel, dich ich benutze.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein x Würfel ist
((x/10)ⁿ-((x-1)/10)ⁿ)

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gegner eine y Würfelt liegt also bei
((y/10)^10-n-((y-1)/10)^10-n)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein x und der Gegner ein y würfelt, liegt also bei:
((x/10)ⁿ-((x-1)/10)ⁿ) * ((y/10)^10-n-((y-1)/10)^10-n)

So, nehmen wir mal an, ich will die Probe um einen Punkt gewinnen. Welche Möglichkeiten gibt es alles dafür:
2-1 (Ich würfle eine 2, der Gegner würfelt eine 1.)
3-2
4-3
5-4
6-5
7-6
8-7
9-8
10-9

So, das verallgemeinern wir jetzt etwas. Nehmen wir mal an, ich will die Probe um a Punkte bestehen. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür?
(a+1) - 1
(a+2) - 2
(a+3) - 3
(a+4) - 4
:
10 - (10 - a)

Wir müssen also für x bzw. y den entsprechenden Wert einsetzen. Dann erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit, um a Punkte zu gewinnen:
= (((a+1)/10)ⁿ-(a/10)ⁿ) * ((1/10)^10-n-(0/10)^10-n)
+ (((a+2)/10)ⁿ-((a+1)/10)ⁿ) * ((2/10)^10-n-(1/10)^10-n)
+ (((a+3)/10)ⁿ-((a+2)/10)ⁿ) * ((3/10)^10-n-(2/10)^10-n)
+ (((a+4)/10)ⁿ-((a+3)/10)ⁿ) * ((4/10)^10-n-(3/10)^10-n)
+ ...
+ ((10/10)ⁿ-(9/10)ⁿ) * (((10-a)/10)^10-n-((9-a)/10)^10-n)

Das kann man etwas vereinfachen, indem man die 1/10 ausklammert:
= ((a+1)ⁿ-aⁿ) * (1^10-n-0^10-n)/10¹⁰
+ ((a+2)ⁿ-(a+1)ⁿ) * (2^10-n-1^10-n)/10¹⁰
+ ((a+3)ⁿ-(a+2)ⁿ) * (3^10-n-2^10-n)/10¹⁰
+ ((a+4)ⁿ-(a+3)ⁿ) * (4^10-n-3^10-n)/10¹⁰
+ ...
+ (10ⁿ-9ⁿ) * ((10-a)^10-n-(9-a)^10-n)/10¹⁰

[Dirk]

Eulenspiegel, was würde ich ohne Dich tun?!

Vielen Dank!

Ich schaue wieder ob ich das gebacken bekomme und melde mich dann - mit Ergebnissen!

MfG
Dirk

[Dirk]

Das heißt ich muss für jede Kategorie (1 Würfel, usw) diese Formel

= ((a+1)n-an) * (110-n-010-n)/1010
+ ((a+2)n-(a+1)n) * (210-n-110-n)/1010
+ ((a+3)n-(a+2)n) * (310-n-210-n)/1010
+ ((a+4)n-(a+3)n) * (410-n-310-n)/1010
+ ...
+ (10n-9n) * ((10-a)10-n-(9-a)10-n)/1010

durchspielen um einen Wert a zu bekommen? Demzufolge muss ich das Ganze 9 mal für jede Kategorie machen?

Mein 1. Versuch in Excell für die Kategorie 1 Würfel und Wert a=1 sieht folgendermaßen aus:

0,00%
0,00%
0,00%
0,01%
0,09%
0,51%
2,22%
7,91%
24,13%
2,53%
37,40% Gesamt


Was mache ich falsch?

MfG
Dirk

[Dirk]

Ich glaube es liegt an meinem Excell-Foo.

Jetzt habe ich für den a=1 Wert bei den Kategorien folgendes:

3,87%   7,69%   11,28%   14,46%   16,93%   18,32%   18,12%   15,65%   10,00%


Das sieht bedeutend einleuchtender aus!

Aber, ist es auch richtig?

MfG
Dirk

[Dirk]

Kann mir niemand mehr helfen? *Wein!*

Wo bist Du Eulenspiegel? Hüüülfeeeee!

MfG
Dirk

[Eulenspiegel]

Ich bin diese Woche sehr beschäftigt.
Ich schaue es mir dann nächste Woche an.