Thema: Rechenproblem für Würfelarithmetiker

[Morgh]

Hallo,

ich bastel gerade an einem System und wollte mal eine Wahrscheinlichkeitsmatrix dafür austellen, wozu ich aber scheinbar zumindest teilweise zu unfähig bin.
Eine kleine Kopfnuss für alle Powergamer, Systemversteher -bastler und Mathegenies.

Grundsituation:

-Man würfelt mit 2 W10.

-Der erste Würfel zeigt an ob die Aktion prinzipiell erfolgreich war => Erfolgswürfel (EW)
Hierbei muss eine situationsbedingte Schwelle überwürfelt werden.

-Der zweite Würfel zeigt wie erfolgreich die Aktion war => Erfolgsumfangswürfel (EUW - bessere Benennung willkommen)
Ein möglichst hoher Wert ist hierbei wünschenswert.

-Es kann NACHDEM gewürfelt wurde festgelegt werden welcher der Erfolgswürfel und welcher der Erfolgsumfangswürfel ist.

Primitives Beispiel 1:
Grog will Drag eins überziehen.
Er muss dazu mindestens eine 4 Würfeln und verursacht Schaden in Höhe der Zahl seines EUW.

Grog würfelt eine 5 und eine 8. Er nimmt die 5 als EW (5 > 4) und die 8 als EUW (verursacht also 8 Schaden).

Primitives Beispiel 2:
Drag steht noch und will jetzt Grog eins überziehen.
Er muss dazu mindestens eine 5 Würfeln und verursacht Schaden in Höhe der Zahl seines EUW.

Drag würfelt eine 10 und eine 3. Er nimmt die 10 als EW (10 > 5) und die 1 als EUW (verursacht also 3 jämerlichen Schaden).
Hätte die 10 für den Schadenswurf verwenden können, wäre der Schaden wesentlich höher ausgefallen, dummerweise war dazu die Schwierigkeit zu hoch (da 3 < 5).

Soweit mitgekommen? Prima, dann weiter.

Erfolgstabelle

Die generelle Erfolgstabelle ist einfach zu berechnen. Sie sagt nur aus wie wahrscheinlich es ist mit 2W10 mit mindestens einem Würfel die Schwelle zu überbieten.
Dafür habe ich einfach die Grundwahrscheinlichkeit mit einem Würfel genommen und die Restwahrscheinlichkeit nochmal durch die selbe Wahrscheinlichkeit geteilt und addiert.

Die Formel wäre also:

wahrscheinlichkeit = w1+(100-w1)/100*w2

Beispiel:

Wahrscheinlichkeit mit 2W10 mindestens eine 3 zu würfeln:

Beide Würfel haben eine Wahrscheinlichkeit von 80% mindestens eine 3 zu würfeln. Also:
w1 = 80
w2 = 80

Eingesetzt macht das:
wahrscheinlichkeit = w1+(100-w1)/100*w2
wahrscheinlichkeit = 80+(100-80)/100*80
wahrscheinlichkeit = 96 %

Tabelle mit den Ergebnissen

Schwelle	Erfolgswahrscheinlichkeit
1	100%
2	99%
3	96%
4	91%
5	84%
6	75%
7	64%
8	51%
9	36%
10	19%

Erfolgsumfangstabelle

Jetzt wird es interessant (zumindest für die, die noch nicht eingeschlafen sind). Interessieren würde mich wie wahrscheinlich es ist bei einer bestimmten Schwelle zumindest einen bestimmten Erfolgsumfang zu erreichen. Ich bin mir sicher es gibt eine Glockenkurve aber ich kann sie nicht errechnen.
Also links in der Spalte die zu würfelnde Schwelle in den Spalten rechts die jeweilige Wahscheinlichkeit mindestents die oben stehende Zahl im EUW zu erreichen.
Den einfachen Teil habe ich schonmal eingetragen.

Schwelle	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	100%	99%	96%	91%	84%	75%	64%	51%	36%	19%
2	99%	?	?	?	?	?	?	?	?	?
3	96%	?	?	?	?	?	?	?	?	?
4	91%	?	?	?	?	?	?	?	?	?
5	84%	?	?	?	?	?	?	?	?	?
6	75%	?	?	?	?	?	?	?	?	?
7	64%	?	?	?	?	?	?	?	?	?
8	51%	?	?	?	?	?	?	?	?	?
9	36%	?	?	?	?	?	?	?	?	?
10	19%	?	?	?	?	?	?	?	?	?

Also wer mir hier weiterhelfen kann, wird in meinen Memoiren erwähnt.

CYA,
Morgh

[Iceman]

Hallo Morgh!

Ich bin zwar kein Experte, was Stochastik angeht, aber trotzdem mein Senf dazu:

Du machst zwei unabhängige Zufallsexperimente. Das erste ist der Wurf mit zwei W10 um die Schwelle zu (über-)treffen. Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Schwellenwerte hast Du ja schon ausgerechnet.

Diese Wahrscheinlichkeit sagt nur etwas darüber aus, ob ein bestimmter Wert von IRGENDEINEM der beiden Würfel erreicht wird. Das Ergebnis des anderen Würfels hat im Grunde nichts damit zu tun. Deshalb kannst Du den EUW als gesondertes Zufallsexperiment betrachten.

Weil es sich um einen einzelnen Würfel handelt, sind die Ergebnisse diskret linear verteilt. In diesem Fall also 10% Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis.

Ich hoffe das passt soweit,
Iceman

[Hr. Rabe]

Diese Wahrscheinlichkeit sagt nur etwas darüber aus, ob ein bestimmter Wert von IRGENDEINEM der beiden Würfel erreicht wird. Das Ergebnis des anderen Würfels hat im Grunde nichts damit zu tun. Deshalb kannst Du den EUW als gesondertes Zufallsexperiment betrachten.

Nein, so einfach ist das nicht, denn da die Würfel 'verbraucht werden', sind beide Zufallssysteme doch wieder mit einander verbunden.

@Morgh
Eine Frage habe ich allerdings noch:
Du sagst im Falle des EW zwar, daß du einen Wert unterwürfeln willst, sprichst in den Beispielen allerdings von überwürfeln. Was soll denn jetzt gelten?
1 [W]ürfel < [V]orgabe
2 w <= v
3 w >= v
4 w > v
???

Gruß,
raVen

[Morgh]

Danke erstmal dass ihr euch mit meiner Hirnwichse beschäftigt. 

@Iceman: Die beiden Würfe kann ich deshalb nicht unabhängig von einander betrachten da:

-Es kann NACHDEM gewürfelt wurde festgelegt werden welcher der Erfolgswürfel und welcher der Erfolgsumfangswürfel ist.

@TheRavenNevermore: Du hast recht, ich bin den Beitrag nochmal durchgegangen.

Man muss die Schwelle überwürfeln. Sorry, bin da mit vorherigen Überlegungen durcheinandergekommen.

Danke für den Hinweis.

[Hr. Rabe]

Ok, unter der Annahme, daß folgendes gilt:

W -> Würfel
V -> Vorgabe

EW: W >= V

Haben wir folgende Bedingungen für den EUW:

1. if (W1 >= V&&W2 >= V) EUW=W1>W2?W1:W2;
(falls beide Würfel über der Vorgabe liegen, wird der höhere als EUW gewertet)

2. else if (W1 >= V) EUW=W2;
(ansonsten wird W2 als EUW gewertet, wenn W1 die Vorgabe erfüllt)

3. else if (w2 >= V) EUW=W1;
(ansonsten wird W1 als EUW gewertet, wenn W2 die Vorgabe erfüllt)

4. else EUW=-1;
(ansonsten weisen wir EUW einen negativen Wert zu, was bedeutet, daß die Probe nicht geschafft ist.)

Edit: Programmauswertung rausgenommen, weil fehlerhaft... 

Gruß,
raVen

[Chiungalla]

Am besten machst Du Dir einfach ne Tabelle:

Würfelergebnis / MW 1 / MW 2 / MW 3 / MW 4 ....

In die Spalte Würfelergebnis trägst Du einfach die Erbenisse der 2W10 ein. Alle 100.
Also von 1,1 bis 10,10.
Und dann schreibst Du in die weiteren Spalten einfach, wie hoch der Erfolgsgrad ist.

Beispiel:

Würfelergebnis / MW 1 / MW 2 / MW 3 / MW4 / MW5 / MW6 / MW 7 / MW 8 / MW 9 / MW 10

1,1                     1          -           -         -          -          -         -          -           -           -
4,6                     6          6          6        6         4         4         -          -           -           -
9,10                   10       10         10       10       10       10       10       10         10         9

Am Ende kannst es dann einfach auszählen.

Gibt sicher intelligentere Methoden, aber die ist leicht anzuwenden.

[Morgh]

Klasse! 

Vielen dank RavenNevermore für den Aufwand den du betrieben hast!

Hatte garnicht dran gedacht noch ein Programm dafür zu schreiben, dachte man kriegt es auch rein mathematisch irgendwie hin - aber so geht's natürlich auch. 
Quasi Chiungalla's Auszählmöglichkeit in automatisiert.

Hab zuerst jetzt auch nochmal ein wenig überlegen müssen wie die Tabelle gemeint ist, hab's aber jetzt kapiert.
Schön dass man die genauen Teilwahrscheinlichkeiten der Werte sieht, ich hatte das ja erstnochmal zusammengefasst versucht.
(Also Wahrscheinlichkeit mindestens eine 1 zu kriegen etc.)

Ihr seid super. 

[Dr.Boomslang]

Interessantes System. Ich bin mir nicht sicher ob es irgendwie sinnvoll ist, aber sehr interessant. 

Man kann drei Ereignisse unterscheiden die hier wichtig sind. Entweder erreicht man mit keinem Würfel die Schwelle, mit genau einem, oder mit beiden.
Ersteinmal die Wahrscheinlichkeiten:

P_wurf(X>=s)=(11-s)*0,1

P_beide=(P_wurf)^2

P_einer=P_wurf*(1-P_wurf)

P_keiner=1-P_beide-P_einer

Erreicht kein Würfel die Schwelle ist der Erfolgsgrad 0 bzw die Probe nicht gelungen. Erreicht genau ein Würfel die Schwelle zeigt der andere automatisch den Erfolgsgrad an, der dann logischerweise auch unter der Schwelle liegen muss. Da der einzelne Würfel gleichverteilte Ergebnisse liefert können wir mit dem Wissen dass das Ergebnis unter der Schwelle liegt nur sagen, dass sich die Gesamtwahrscheinlichkeit diese Zahl als Erfolgswert zu würfeln, im Fall 1 wie folgt ergibt:

P_{Fall 1}(X=z)=P_einer/(11-s)    für alle z<s

Beispiel: Bei einer Schwelle von 6 erreiche ich diese mit 25% garnicht, mit 25% mit beiden und mit 50% mit genau einem Würfel. Im Fall 1, also dass ich nur mit einem Würfel die Schwelle erreicht habe, ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl unter der Schwelle als Erfolgsgrad erwürfelt zu werden gleich, also insgsamt 5 Zahlen die sich auf dieses 50% Ereignis aufteilen, also insgesamt jeder Erfolgsgrad von 1 bis 5 erhält 10%.

Der Fall 2 ist etwas schwieriger. Falls beide Würfel über der Schwelle liegen wähle ich natürlich den höheren für den Erfolgsgrad. Damit sind die Erfolgsgrade über der Schwelle nicht mehr gleichverteilt.
Dieses Teilproblem ist wieder das selbe, das sich bei der Ermittlung der Wahrscheinlichkeit zum Erreichen des Schwellenwertes ergibt. Nur das wir jetzt keinen W10 sondern eben nur 11-s verschiedene Möglichkeiten haben. Um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten muss man es noch mit der Wahrscheinlichkeit dieses speziellen betrachteten Falls multiplizieren.


Die ganze Überlegung steht natürlich unter der Vorraussetzung, dass es keinen Sinn macht einen niedrigeren Würfel als Erfolgsgrad zu wählen, d.h. dass man im Endeffekt nicht wählt, sondern dass der höchste Würfel jeweils gezählt wird.

Das Problem an dem System ist wohl, dass die beiden Würfe unabhängig sind, und die Wahrscheinlichkeiten einen bestimmten Erfolgsgrad zu erreichen sich daher bis zur Schwelle hin linear verändern. Man kann das aber leicht beheben wenn man mehr Würfel wirft, z.B. drei. Bei drei Würfeln würde man immer aus mehreren Würfeln den höchsten wählen können.

[Hr. Rabe]

So, hab das Probramm korregiert. hier ist die Ausgabe in Pormille:

Code: [Auswählen]

[vorgabe=0 EUW=0] 1
[vorgabe=0 EUW=1] 3
[vorgabe=0 EUW=2] 5
[vorgabe=0 EUW=3] 7
[vorgabe=0 EUW=4] 9
[vorgabe=0 EUW=5] 11
[vorgabe=0 EUW=6] 13
[vorgabe=0 EUW=7] 15
[vorgabe=0 EUW=8] 17
[vorgabe=0 EUW=9] 19
[vorgabe=1 EUW=0] 18
[vorgabe=1 EUW=1] 1
[vorgabe=1 EUW=2] 3
[vorgabe=1 EUW=3] 5
[vorgabe=1 EUW=4] 7
[vorgabe=1 EUW=5] 9
[vorgabe=1 EUW=6] 11
[vorgabe=1 EUW=7] 13
[vorgabe=1 EUW=8] 15
[vorgabe=1 EUW=9] 17
[vorgabe=2 EUW=0] 16
[vorgabe=2 EUW=1] 16
[vorgabe=2 EUW=2] 1
[vorgabe=2 EUW=3] 3
[vorgabe=2 EUW=4] 5
[vorgabe=2 EUW=5] 7
[vorgabe=2 EUW=6] 9
[vorgabe=2 EUW=7] 11
[vorgabe=2 EUW=8] 13
[vorgabe=2 EUW=9] 15
[vorgabe=3 EUW=0] 14
[vorgabe=3 EUW=1] 14
[vorgabe=3 EUW=2] 14
[vorgabe=3 EUW=3] 1
[vorgabe=3 EUW=4] 3
[vorgabe=3 EUW=5] 5
[vorgabe=3 EUW=6] 7
[vorgabe=3 EUW=7] 9
[vorgabe=3 EUW=8] 11
[vorgabe=3 EUW=9] 13
[vorgabe=4 EUW=0] 12
[vorgabe=4 EUW=1] 12
[vorgabe=4 EUW=2] 12
[vorgabe=4 EUW=3] 12
[vorgabe=4 EUW=4] 1
[vorgabe=4 EUW=5] 3
[vorgabe=4 EUW=6] 5
[vorgabe=4 EUW=7] 7
[vorgabe=4 EUW=8] 9
[vorgabe=4 EUW=9] 11
[vorgabe=5 EUW=0] 10
[vorgabe=5 EUW=1] 10
[vorgabe=5 EUW=2] 10
[vorgabe=5 EUW=3] 10
[vorgabe=5 EUW=4] 10
[vorgabe=5 EUW=5] 1
[vorgabe=5 EUW=6] 3
[vorgabe=5 EUW=7] 5
[vorgabe=5 EUW=8] 7
[vorgabe=5 EUW=9] 9
[vorgabe=6 EUW=0] 8
[vorgabe=6 EUW=1] 8
[vorgabe=6 EUW=2] 8
[vorgabe=6 EUW=3] 8
[vorgabe=6 EUW=4] 8
[vorgabe=6 EUW=5] 8
[vorgabe=6 EUW=6] 1
[vorgabe=6 EUW=7] 3
[vorgabe=6 EUW=8] 5
[vorgabe=6 EUW=9] 7
[vorgabe=7 EUW=0] 6
[vorgabe=7 EUW=1] 6
[vorgabe=7 EUW=2] 6
[vorgabe=7 EUW=3] 6
[vorgabe=7 EUW=4] 6
[vorgabe=7 EUW=5] 6
[vorgabe=7 EUW=6] 6
[vorgabe=7 EUW=7] 1
[vorgabe=7 EUW=8] 3
[vorgabe=7 EUW=9] 5
[vorgabe=8 EUW=0] 4
[vorgabe=8 EUW=1] 4
[vorgabe=8 EUW=2] 4
[vorgabe=8 EUW=3] 4
[vorgabe=8 EUW=4] 4
[vorgabe=8 EUW=5] 4
[vorgabe=8 EUW=6] 4
[vorgabe=8 EUW=7] 4
[vorgabe=8 EUW=8] 1
[vorgabe=8 EUW=9] 3
[vorgabe=9 EUW=0] 2
[vorgabe=9 EUW=1] 2
[vorgabe=9 EUW=2] 2
[vorgabe=9 EUW=3] 2
[vorgabe=9 EUW=4] 2
[vorgabe=9 EUW=5] 2
[vorgabe=9 EUW=6] 2
[vorgabe=9 EUW=7] 2
[vorgabe=9 EUW=8] 2
[vorgabe=9 EUW=9] 1


[Morgh]

So habe das Programm auch selber nochmal kurz in meinen Java-Compiler gehackt und hier ist das Ergebniss:

Code: [Auswählen]

V/EUW  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
1      1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19,
2     18, 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,
3     16,16, 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,
4     14,14,14, 1, 3, 5, 7, 9,11,13,
5     12,12,12,12, 1, 3, 5, 7, 9,11,
6     10,10,10,10,10, 1, 3, 5, 7, 9,
7      8, 8, 8, 8, 8, 8, 1, 3, 5, 7,
8      6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 1, 3, 5,
9      4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 1, 3,
10     2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1,
Das ganze scheint sich soweit auch mit den Ausführungen von Dr.Boomslang zu decken, der das Problem ja schon erkannt hat.

Nun gut nicht ganz das was ich erwartet habe, aber genau deshalb wollte ich es ja mal ausrechnen.

Besten Dank nochmal allerseits, ich muss zurück an's Reissbrett. 

[Crujach]

Die Tabelle sieht nett aus... ein Wahrscheinlichkeitstal welches Diagonal liegt aber unterschiedliche Gipfelhöhen hat. (ich nehme die Promillewerte einfach mal als Höhenangaben)

Was gefällt dir an dem Würfelsystem nicht? Bei einer durchschnittlichen Schwierigkeit werden häufiger entweder schwache oder sehr gute Ergebnisse erziehlt. (Dabei sind die Schwachen Ergebnisse etwas stärker gewichtet) Klingt doch mal absolut lustig.



[gelöscht durch Administrator]

[Morgh]

He super Grafik, ich pack sie zu meinen restlichen Unterlagen. 

Ja, an sich ist das System vielleicht doch ganz brauchbar. Ich denke ich werde einfach mal sehen wie es sich im Spieltest macht.

Bin auch noch dabei, den Rest drum rum zu bauen. Wenn es soweit ist, werd ich mich hier nochmal melden. 

[Dom]

Ich bin ja vielleicht etwas spät dran, möchte aber trotzdem meinen Senf dazugeben:

1. Ein Eintrag V/E in der zuletzt angegebenen Tabelle bedeutet: "Die Wahrscheinlichkeit (in %) dafür, dass genau der Erfolgsumfang E erreicht wurde, wobei die Schwelle V mindestens erreicht worden sein muss."

Es ist also nicht "...zumindest einen bestimmten Erfolgsumfang...", wie ursprünglich von Morgh gedacht.

2. Zur theoretischen Berechnung (von Morghs Original-Frage): Wir werfen mit zwei Würfeln. Die Vorgabe ist: Ein Würfel muss mindestens die Schwelle V erreichen, der andere mindestens den Erfolgsumfang E. Die Frage lautete: Wie groß ist die Wkt für dieses Ereignis?

Sei W1 die Augenzahl von Würfel 1, W2 die Augenzahl von Würfel 2.

Sei a=max{V,E}, b=min{V,E}. Dann ist das Ereignis eingetreten wenn einer der folgenden Fälle eintritt:
a) W1>=a, W2>=b
b) W1>=b, W2>=a
D.h. ein Würfel muss das größere der beiden Zahlen erreiche, der andere mindestens den kleineren Wert.

Dumm ist nur, wenn beide Würfel den größeren Wert (oder mehr) zeigen, denn dann ist sowohl Ereignis a) als auch b) eingetreten, d.h. diese Ereignisse würden doppelt gezählt.

Daher muss man Berechnen: Wkt(W1>=a,W2>=b) + Wkt(W1>=b,W2>=a) - Wkt(W1>=a,W2>=a)

Ich bin zu folgendem Ergebnis gekommen (Rechenweg gerne auf Anfrage):
Wahrscheinlichkeit = (n+1-a) * (n+a+1-2b) / (n*n)

n ist dabei die Anzahl der Flächen der benutzten Würfel; V und E liegen im Bereich 1,2,...,n.

3. Um die Zahlen der Tabelle in diese Wahrscheinlichkeiten zu konvertieren, muss einfach nur die Zeile ab der entsprechenden Stelle aufaddiert werden.
Beispiel: Wie groß ist die Wkt. dafür, dass man bei Vorgabe 4 mindestens einen 6er Erfolg sieht (bei W10 als Würfel)?
Antwort: (10+1-6) * (10+6+1-2*4) / 10*10 = 5 * 9 / 100 = 45/100, also 45 %
Dasselbe aus der oben angegebenen Tabelle: 5+7+9+11+13 = 45, also 45 %

Wirkt auf mich als ein ziemlich vernünftiges System, wenn ich mir die entstehende Tabelle anschaue:
1: 100, 99, 96, 91, 84, 75, 64, 51, 36, 19
2: 99, 81, 80, 77, 72, 65, 56, 45, 32, 17
3: 96, 80, 64, 63, 60, 55, 48, 39, 28, 15
4: 91, 77, 63, 49, 48, 45, 40, 33, 24, 13
5: 84, 72, 60, 48, 36, 35, 32, 27, 20, 11
6: 75, 65, 55, 45, 35, 25, 24, 21, 16, 9
7: 64, 56, 48, 40, 32, 24, 16, 15, 12, 7
8: 51, 45, 39, 33, 27, 21, 15, 9, 8, 5
9: 36, 32, 28, 24, 20, 16, 12, 8, 4, 3
10: 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1

Dom.

[Lord Verminaard]

  Ihr... ihr... Nerds! *duckundwech*