Thema: Über die Herstellung von Würfeln

[reinecke]

Gamescience Dice verkauft auch W3, W5 und andere Nicht-platonische Körper.

[Feuersänger]

Also, wir haben jetzt mal unsere Würfel ausgemessen und ein paar einzelne im Schnelldurchlauf getestet (je 100 Würfe). Die Ergebnisse sind zum Teil erschütternd:

* mein ältester D20 (den ich schon lange nicht mehr aktiv verwende) hat über 0,6mm Abweichung zuungunsten der 1/20 Achse. Die Stichprobe ergab katastrophale Ergebnisse: auf 100 Würfe fiel 13mal die 12, nur eine 20 und ein paar 1er. Mit dem Ding hab ich früher DSA gespielt.

* Immerhin begnügen sich fast alle neueren Würfel mit 0,1mm Abweichung. Die Ergebnisse waren trotzdem zum Teil sehr unegal. Mein aktueller Hauptwürfel z.B. zeigte auf 100 Würfe elfmal die 1, aber nur 2mal die 20 und nebenbei keine einzige 15. Ich konnte mir das überhaupt nicht erklären, bis ich gerade hier im Thread von Luftblasen gelesen habe. Das scheint mir hier der Fall zu sein.

Langer Rede kurzer Sinn: ich brauche mindestens einen neuen D20. Dringend.

[Gwynplaine]

Ich habe gerade einen W20 aus dem DSA-Würfelset vermessen (der immer ungewöhnlich viele 1er lieferte):

Die Abweichung beträgt im Maximum 0,7 mm (von der 1/20 zur 9/12) 
Probewürfe folgen...

[Crazee]

Ich befürchte, dass bei einem W20 eine Stichprobengröße von 100 nicht ausreicht.

An die Statistiker: Wie groß sollte bei einem W20 die Stichprobe sein und wie genau soll man messen? Messschieber, Bügelmessschraube oder 3-Koordinatenmessmaschine? Ich bin mal gespannt, ob ich meinen Kollegen dazu bekomme, vor Weihnachten mal einen W6 auf Maßgenauigkeit, Parallelität und Winkligkeit auf der Messmaschine zu prüfen... 

[Feuersänger]

Naja, bei 100 Würfen sagt es vielleicht nicht viel aus, wenn eine Zahl 3mal oder 7mal fällt, aber bei 1mal  oder >10mal würde ich schon meinen, dass man da bereits von Signifikanz sprechen kann.

[Crazee]

Genau da bin ich mir bei Statistik nicht sicher, da dort nun einmal das Gesetz der großen Zahl gilt. Und da glaube ich nicht, dass bei 20 Werten 100 Würfe ausreichen.

[Beral]

Den Signifikanz-Begriff sollte man nicht überstrapazieren. Er sagt etwas anderes (und in der Regel weniger) aus, als sich viele darunter vorstellen. Und wie man intuitiv Signifikanzen erkennt, habe ich noch nirgends erklärt bekommen.

[Dom]

Und wie man intuitiv Signifikanzen erkennt, habe ich noch nirgends erklärt bekommen.

Signifikanz erkennen? *wunder*

Erklärung Signifikanz: Ein signifikanter Test funktioniert nur bei Fragestellungen, bei denen wir nicht den vollen Durchblick haben. Beispielsweise bei zufälligen Sachen, oder auch bei Unwissenheit. Um eine "signifikante" Aussage zu machen, muss man sich zuerst eine Fehlerschranke von z.B. 5% vorgeben. Man sagt, eine Aussage ist zu diesem (Fehler-)Niveau signifikant.

Wie kann man sich das nun mit der Fehlerwahrscheinlichkeit vorstellen? Angenommen, 100 Leute würden die Aussage unabhängig voneinander durchführen. Dann würden 5 dieser Leute einen Fehler bei der Antwort machen.

Aber Obacht! Bei den üblichen Verfahren kann immer nur eine Seite signifikant sein! Wenn ich beispielsweise die Frage stelle: "Würfelt mein Würfel zu viele Einsen?", und das Verfahren sagt: "Ja.", dann ist diese Aussage üblicherweise nicht signifikant. Sondern nur die Antwort "Nein."

Und noch etwas: Das signifikante "Nein" sagt kein bisschen darüber aus, ob der Würfel nicht vielleicht zu wenig Einsen würfelt und wenn ja, wie viel. Man weiß lediglich, dass es nicht zu viele sind.

[Feuersänger]

Jetzt kapier ich noch weniger als vorher.

[Beral]

Jetzt kapier ich noch weniger als vorher.

Deswegen lieber nicht darüber spekulieren. 

[Dom]

@Feuersänger: Okay, ganz kurz: Ein signifikantes Ergebnis ist mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit falsch. Diese Wahrscheinlichkeit kann man selbst wählen. Wählt man die allerdings zu niedrig, läuft man Gefahr, keine Aussage zu bekommen.

@Crazee: Bei 100 Würfen eines W20 ist eigentlich nur eine 1 oder 0 etwas besonderes. Und das auch nur, wenn man sich vorher überlegt hat: Ich zähle mal eine bestimmte Seite, wie oft die vorkommt.

Bei einem perfekten W20 ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 100 Würfen irgendeine der Zahlen nicht wirft, schätzungsweise mehr als 11%.

[Tantalos]

@Crazee: Bei 100 Würfen eines W20 ist eigentlich nur eine 1 oder 0 etwas besonderes. Und das auch nur, wenn man sich vorher überlegt hat: Ich zähle mal eine bestimmte Seite, wie oft die vorkommt.

Vor allem die "o", weil die gar nicht vorkommt. Du meinst die 20, oder?

[WeepingElf]

Ja.

Diese Aussage passt allerdings nicht zu deiner obigen.

Schon klar Ich meine, meiner persönlichen Meinung nach, so wie ich mir gutes Rollenspiel vorstelle, sollte nicht zu viel von Würfelergebnissen abhängen, und deshalb ist es meiner Meinung nach nicht so wichtig, das letzte Bisschen Präzision aus den Würfeln herauszuholen. Für mich hat Rollenspiel halt mehr mit Geschichtenerzählen als mit Spielcasino zu tun. Aber das ist eben meine persönliche Meinung und nicht mehr - wenn jemand Sinn darin sieht, seine Würfel langen Testreihen zu unterziehen, wenn er Spaß daran hat, wenn ein unglücklicher Würfelwurf die ganze Kampagne zum Kentern bringt, dann ist das sein Bier, da will ich ihn nicht daran hindern. (Nur möchte ich eben nicht so spielen.)

[Crazee]

@Dom: Wie groß sollte meine Stichprobe denn nun sein bei so einem W20.

[Dom]

Jack Winter: Ich meine, dass eine bestimmte Zahl keinmal (0) oder einmal (1) vorkommt. Das Merkmal ist nicht die erwürfelte Zahl, sondern die Häufigkeit.

Crazee: 100 ist schon okay, wenn man sich vorher überlegt, welche Seite man zählen will. Und das sollte man eh. Wird diese Zahl nur einmal oder keinmal gewürfelt, wäre das signifikant mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 4%. Also: "Mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 4% ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel diese Zahl zeigt, kleiner als 5%."

[Dom]

Big Map, das mit den 1000 pro Wahlmöglichkeit hat den Hintergrund, dass man versucht, von einer kleinen Menge befragter Leute auf die Gesamtheit der Deutschen zu schließen (und außerdem möchte man eine zuverlässige Schätzung haben).
So viele Versuche sind nicht nötig, um verlässliche Aussagen zu treffen (s.o.). Aber grundsätzlich gilt: Je mehr, je besser.

@Feuersänger: Noch mal zu deinem W20, bei dem keine 15 gefallen ist. Das spricht nicht unbedingt gegen deinen W20. Probiere das noch mal aus, und zwar nimmst du dir den Würfel, würfelst 100 Mal und zählst die Anzahl der 15er. Wenn dann höchstens eine 15 fällt, ist das verdächtig.

[Crazee]

Aber ich kann doch 100x werfen und gleichzeitig von allen Zahlen die Häufigkeit zählen. Das schließt sich doch nicht aus, oder?

[Dom]

Doch, das schließt sich aus. Denn wenn du ein paar Zahlen zufällig häufiger wirfst, müssen die anderen zwangsweise seltener fallen. Wie gesagt, die Wahrscheinlichkeit ist auf einem perfekten W20 irgendwo zwischen 11 und 12 %, dass du bei hundert Würfen eine der Zahlen überhaupt nicht wirfst.

[Feuersänger]

Das heisst doch dann auch im Umkehrschluss, dass ein W20, der auf 100 Würfe eine bestimmte Zahl gar nicht produziert, mit ca. 88% Wahrscheinlichkeit nicht in Ordnung ist, oder?

Aber gut, das steht im Prinzip eh außer Frage, dass die Dinger nicht perfekt sind. Eine Abweichung von 0,1mm zwischen den Achsen scheint - bei den handelsüblichen 0,60€ Würfeln - das Übliche zu sein. Und dann gibt es eben noch die richtigen Eier mit bis zu 0,7mm Abweichung.

[Der Nârr]

Doch, das schließt sich aus. Denn wenn du ein paar Zahlen zufällig häufiger wirfst, müssen die anderen zwangsweise seltener fallen. Wie gesagt, die Wahrscheinlichkeit ist auf einem perfekten W20 irgendwo zwischen 11 und 12 %, dass du bei hundert Würfen eine der Zahlen überhaupt nicht wirfst.

Aber ich kann doch im Nachhinein festlegen, über welche Zahl ich eine Aussage machen möchte, oder?

[Eulenspiegel]

Aber ich kann doch im Nachhinein festlegen, über welche Zahl ich eine Aussage machen möchte, oder?

Nein, denn auch ein perfekter Würfel, der jede Zahl mit 5% Wahrscheinlichkeit würfelt, wird SEHR SEHR wahrscheinlich eine Zahl überhaupt nicht würfeln bei 100 Würfeln.

Nehmen wir uns mal einen perfekten W20 her. Dann liegt die Wahrscheinlichkeit bei 3,7 %, dass eine bestimmte Zahl (z.B. 1) höchstens einmal gewürfelt wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine von 2 Zahlen (z.B. 1 oder 2) höchstens einmal gewürfelt wird, liegt schon bei 2*0,037-0,037² = 7,3%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 4 Zahlen (z.B. 1,2,3 oder 4) eine höchstens einmal gewürfelt wird, liegt schon bei 2*0,073-0,073² = 14%.
Die Wahrscheinlichkeit für 8 Zahlen liegt bei 2*0,14-0,14² = 26%.
Die Wahrscheinlichkeit für 16 Zahlen liegt bei 2*0,26-0,26² = 45%.
Und die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeine Zahl auf dem W20 höchstens einmal erwürfelt wird, liegt bei: 0,45+0,14-0,45*0,14 = 55%.

Das heißt mit ca. 55% Wahrscheinlichkeit, wird es bei 100 Würfen eine Zahl geben, die höchstens einmal erwürfelt wird.

Deswegen ist es bei Statistiken auch so wichtig, dass man das zu untersuchende Objekt VOR der Auswertung bestimmt. (Denn nach der Auswertung wird man mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit immer eine Aufälligkeit bemerken, die aber rein zufällig ist.)

[carthinius]

ich versteh ja so gar nichts von Stochastik und dem ganzen Zeug, aber:

Deswegen ist es bei Statistiken auch so wichtig, dass man das zu untersuchende Objekt VOR der Auswertung bestimmt. (Denn nach der Auswertung wird man mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit immer eine Aufälligkeit bemerken, die aber rein zufällig ist.)

Heißt das aber nicht auch, dass der Statistiker auf jeden Fall eine Zufälligkeit untersucht und nur durch die Betrachtungsweise die Zufälligkeit auf einmal nicht zufällig ist, sondern etwas aussagt - was sie ja eigentlich auch müsste, wenn ich vorher eine andere Sache untersuchen wollte, die Ergebnisse ändern sich ja nicht! Nur weil ich NICHT die 17 beachtet habe, sondern die 3, die dann zweimal kam, kann ich hinter nicht mehr sagen: "Moment, die 17 kam ja überhaupt nicht, das ist ja interessant!"?!
Das ist doch - mit Verlaub - Mumpitz!

[Crazee]

Mich stört an Stochastik auch dieser ständige "Konjuktiv". 

[Eulenspiegel]

@ Allgemeinheit
Eines vorneweg:
Statistik ist eines der Felder der Mathematik, die einem Laien schwer zugänglich gemacht werden können.
Wenn man etwas über Algebra, Vektoranalysis, Kryptographie, Zahlentheorie oder dergleichen erzählt, dann kommt häufig die Reaktion: "Versteh ich eh nicht. Ich glaub dir mal einfach. Schließlich studierst du das auch."

Das ist bei Stochastik anders. Hier glauben die Leute, dass sie es verstehen, aber sie tun es nicht. (Das ist jetzt keine Beleidigung, sondern nur eine Feststellung: Ich verstehe schließlich auch vieles aus Biologie, Chemie oder Psychologie nicht, eben weil es nicht mein Studienfach ist.)
Wenn man als Mathematiker einem Laien daher etwas über Stochastik erklären will, muss man ihm erstmal begreiflich machen, dass das, was er glaubt über Stochastik zu verstehen, falsch ist.
Bekanntestes Beispiel dafür ist das Ziegenproblem, wo Laien fast immer zu dem falschen Ergebnis kommen. (Und viele dann dem Mathematiker sogar vorwerfen, er würde sich irren. - Falls jemand unter euch auch glaubt, die Wahrscheinlichkeit beim Ziegenproblem betrage 50% und nicht 66%, dann empfehle ich dieser Person, es einfach mal häufig auszuprobieren. Das sollte auch die letzten Zweifler überzeugen.)

Es gibt ja auch das berühmte Zitat (das oft fälschlicherweise Churchill in die Schuhe geschoben wird): "Glaube keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."
Dieser Satz ist jedoch falsch. (Und falls Churchill ihn tatsächlich gesagt hat, dann hätte er sich geirrt.)
Korrekterweise müsste man sagen: "Glaube nicht, eine Statistik richtig interpretieren zu können, wenn du keinen Mathematiker dabei hast, der dich dabei unterstützt." (Viele Laien lesen aus Statistiken Sachen heraus, die gar nicht darin stehen. Und andere Sachen, die man aus der Statistik schlussfolgern kann, übersehen sie dann.)

Es soll sich jetzt keiner im Besonderen angesprochen fühlen. Dieser Absatz war an die Allgemeinheit gerichtet.

@ Carthinius

Nur weil ich NICHT die 17 beachtet habe, sondern die 3, die dann zweimal kam, kann ich hinter nicht mehr sagen: "Moment, die 17 kam ja überhaupt nicht, das ist ja interessant!"?!

RICHTIG!

Wenn du das persönlich verdächtig fändest, müsstest du eine neue Versuchsreihe starten und bei den nächsten 100 Würfen die 17 beobachten. (Und würdest dann evtl. feststellen, dass die 5 nur einmal erwürfelt wurde.)

Das ist doch - mit Verlaub - Mumpitz!

FALSCH!
Denn wie gesagt, Zufälligkeiten passieren (fast) immer.
Mit 55% Wahrscheinlichkeit wirst du bei 100 mal würfeln (eines perfekten platonischen W20) eine Zahl dabei haben, die höchstens einmal auftrat.
Es ist also KEINE Zufälligkeit, dass es eine Zahl gibt, die keinmal auftrat. Im Gegenteil: Wenn ich einen perfekten W20 habe, erwarte ich sogar, dass es eine Zahl gibt, die höchstens einmal auftritt. Es ist WAHRSCHEINLICH (mit 55%), dass es eine Zahl gibt, die höchstens einmal gewürfelt wird.

Aber es ist sehr unwahrscheinlich (nämlich nur 3,7%), dass genau die Zahl nur einmal gewürfelt wird, die du dir ausgesucht hast. (Disclaimer: Für wissenschaftliche Untersuchungen sind 3,7% immer noch verdammt hoch und nicht wirklich aussagekräftig. Für ein Hobby ist eine Wahrscheinlichkeit von 3,7% aber klein genug.)

Aus der Zahl alleine kann man jetzt noch keine wirklichen Schlussfolgerungen stellen. man bräuchte noch die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger (ungetesteter) Würfel nicht perfekt ist. Und wenn diese Zahl nicht zu klein ist, dann kann man aus der Tatsache, dass das Ergebnis extrem unwahrscheinlich ist und über den Satz von Bayes folgern, dass der Würfel nicht perfekt ist.

Wenn das Ergebnis aber nicht unwahrscheinlich ist, dann kann man das daraus nicht folgern.
Für einen Nicht-Mathematiker mag das ziemlich unintuitiv sein. Wenn man sich aber mal ein bisschen mit Mathematik auf der einen Seite und mit Zahlenmystik als Contrapart beschäftigt, dann wird es relativ schnell intuitiver.

@ Feuersänger
Um zu wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass der getestete Würfel nicht in Ordnung ist, muss man vorher wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein beliebiger (nichtgetester) Würfel nicht in Ordnung ist. (Wobei ich einfach mal schätze, dass jeder Würfel irgendwie abweicht. "Nicht in Ordnung" würde dann also bedeuten: Weicht stärker von der Gleichverteilung ab als "normal".)

[carthinius]

[bei Stochastik] glauben die Leute, dass sie es verstehen, aber sie tun es nicht.

Mit Blick auf meinen (von dir zitierten) Beitrag: q.e.d. 

@ Carthinius
RICHTIG!

JUHU!  Wenigstens ein Teilsieg. 

Heißt das denn auch, dass ich mir IMMER eine Zahl aussuchen muss, weil ich sonst über das Ergebnis eigentlich gar nichts aussagen kann?
Und wirkt sich das irgendwie auch auf Durchschnittsberechnungen aus? Also: Kann ich überhaupt durch eine Würfelreihe  z.B. einen zu erwartenen Durchschnittswert eines Würfels ermitteln oder geht das so gar nicht, weil ich eh nur mit Zufallsergebnissen rechnen kann?