Thema: [Winter der Toten] Wie groß ist die Chance, eine Verräter-Karte zu ziehen?

[Brandur]

Hallo zusammen,

nach drei Runden Winter der Toten am WE stellten sich uns einige Fragen bezüglich der Chance, eine Verräterkarte zu ziehen. Da wir mit Mathematik und Statistik nicht soooo viel am Hut haben, kamen wir zu keiner guten Antwort, darum bitte ich um eure Hilfe.

Kurz erklärt: Zu Beginn zieht jeder Spieler eine Karte mit einem geheimen Ziel. Dabei gibt es zwei Arten von geheimen Zielen: "Normale" geheime Ziele und "Verräter"-Ziele.
Man zieht aus einem Deck von Karten, das auf zwei Arten gemischt werden kann: Entweder 2 Karten pro Spieler + 1 Verräterkarte (normale Variante), oder 1 Karte pro Spieler + 1 Verräterkarte (verschärfte Variante).

Meine Fragen lauten also nun:
1. Wie groß ist die Chance eine Verräterkarte zu ziehen?
2. Welchen Einfluss hat die Reihenfolge, in der man zieht? Ist es sinnvoll, wenn man keine Verräterkarte ziehen möchte, zu Beginn oder am Ende zu ziehen?
3. Falls die Reihenfolge einen Einfluss hat, sollte man lieber die Karten einzeln in die Mitte legen anstatt sie auszuteilen?

Es können 3 bis 5 Spieler sein; in unserer Runde am WE waren wir zu fünft.

Danke im Voraus!

[Eulenspiegel]

1a. Chance auf Verräterkarte bei normaler Variante:
Zahl vor der Klammer gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass irgendeiner in der Gruppe die Verräterkarte hat. Zahl in Klammern gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass DU die Verräterkarte hast.
3 Spieler: 3/7 = 43 % (1/7 = 14 %)
4 Spieler: 4/9 = 44 % (1/9 = 11 %)
5 Spieler: 5/11 = 45 % (1/11 = 9 %)

1b. Chance auf Verräterkarte bei verschärfter Variante:
3 Spieler: 3/4 = 75 % (1/4 = 25 %)
4 Spieler: 4/5 = 80 % (1/5 = 20 %)
5 Spieler = 5/6 = 83 % (1/6 = 17 %)

2. Einfluss der Reihenfolge:
Die Reihenfolge in der man zieht, ist egal.

[Noshrok Grimskull]

Na, so egal ist die Zugreihenfolge auch nicht.
Wenn ich in einer 5-Spieler Partie als letzter ziehe und vor mir niemand den Verräter erwischt hat, dann sind meine Chancen diesen zu ziehen höher als die des Ersten - weil ich aus weniger Karten wählen kann.

[Eulenspiegel]

Du sagst es: WENN niemand vor dir die Karte gezogen hat.
Du weißt aber zu Beginn nicht, ob jemand vor dir die Verräter-Karte gezogen hat.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand vor dir die Verräter-Karte gezogen hat, ist
P(V<= 4) = 4/11.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bisher keiner eine Verräter-Karte gezogen hat, ist
P(V>4) = 7/11.

Die Wahrscheinlichkeit, dass du eine Verräter-Karte ziehst, WENN vor dir keiner eine Verräter-Karte gezogen hat, ist
P(V=5 | V>4) = 1/7.

Die Wahrscheinlichkeit, dass du eine Verräter-Karte ziehst, ist also:
P(V=5) = P(V>4) * P(V=5 | V>4) = 7/11 * 1/7 = 1/11.

Das ganze nennt sich Bedingte Wahrscheinlichgkeit.

In Kurzform kann man sagen:
Angenommen das Spiel wäre beendet, sobald jemand die Verräter-Karte zieht: Dann ziehst du als letzter Spieler zwar relativ häufig die Verräter-Karte, FALLS du dran bist. Aber dafür bist du auch wesentlich seltener dran als die Leute vor dir. Diese beiden Faktoren gleichen sich 100% aus, so dass du insgesammt genau so häufig die Verräter-Karte ziehst wie alle anderen auch.

[6]

Wenn ich in einer 5-Spieler Partie als letzter ziehe und vor mir niemand den Verräter erwischt hat, dann sind meine Chancen diesen zu ziehen höher als die des Ersten - weil ich aus weniger Karten wählen kann.

Problem dabei ist nur, dass Du nicht weisst, ob jemand vorher den Verräter gezogen hat.
Ergo: Eulenspiegel hat da schon Recht. Da Du nicht weisst, was die Anderen ziehen oder gezogen haben, ist es Wumpe, wann Du ziehst.

[Wonko]

Immer vorausgesetzt, die Karten sind perfekt gemischt und keiner vor dir sagt: "Och, nö, wenn ich Verräter bin, will ich lieber nicht mitspielen!"

Dann ist es einfach so: Die Verräterkarte kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jeder beliebigen Stelle im Stapel sein. Deshalb ist für jeden Spieler die Wahrscheinlichkeit gleich groß.

Am Ende bleiben bei der ersten Variante etwa die Hälfte der Karten übrig. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Verräterkarte dort dabei ist (und somit kein Verräter im Spiel) etwas höher als 50%.