Aloha,
Ihr sucht eine Methode, wie ein Andersraum sich vom echten unterscheiden kann, sodass man wirklich mit der Vorstellungskraft der Spieler aneckt und doch konsistent bleibt?
Die Lösung heißt ultrametrische Räume oder auch nichtarchimedische Metrik.
Keine Angst und nicht wegrennen, das ist eigentlich ganz einfach.
Fazit- Eine Karte besteht aus einer Liste von Orten mit Entfernungsangaben. Diese Entfernungsangabe ist eine absteigende Folge von positiven Zahlen. Die Karte kann auch die von 1of3 beschriebene Form haben, wenn keine Entfernung doppelt vorkommt. ("Strahlen" von einem (vllt. nur modellhaften) Mittelpunkt aus)
- Zum Entfernung messen nimmt man die beiden Entfernungsangaben der beiden Punkte und schaut sich die erste Stelle an, an der sie sich unterscheiden. Der größere Abstandswert bestimmt die Entfernung zwischen den zwei Punkten. in 1of3s Beispiel ist das jeweils die weitere der beiden Entfernungen zum mittelpunkt.
- Umgebungen, also alle Orte im Umkreis von x, die näher an x liegen als r Entfernungseinheiten, kann man sich nach Regel zwei zusammensuchen. Man sieht es später sofort, welche Orte dazugehören, wenn man die Karte nach den Entfernungsangaben sortiert.
Das wichtige einer solchen Andersweltkarte ist, dass sie einem vermittelt, was nahe beieinander liegt.
Es kommt hier nur auf die unterschiedlichen Entfernungen zwischen zwei Orten an und um Nachbarschaften. Das ist also keine Landkarte, da man sie auf Papier nicht zeichnen kann. Man kann sie nur indirekt schmeatisch darstellen, aber das sehr einfach.
Ich zeichne euch jetzt einmal eine Karte:
0 0
a 3
b 4
c 5
d 6 /0
e 6 /3
f 6 /4/0
g 6/4/2
h 6/6
Die kleinen Buchstaben sind unsere Orte (0 kann z.B,. Sigil sein) und es ist jeweils ihr Abstand zum Startpunkt oder auch Referenzpunkt (die MItte der Welt, aber das ist nicht so ganz wichtig, wie ihr gleich sehen werdet.) eingetragen. Das ist die erste Zahl auf der rechten Seite. Wenn zwei Orte gleichweit vom Mittelpunkt entfernt sind, gibt die nächste Zahl an, wie weit sie voneinander entfernt sind. (Also jeweils wieder von einem Referenzpunkt, wenn man es so haben möchte.)
Es folgt ein wenig TEchtalk, der dem Mathematisch geneigten Leser etwas zur Struktur der Ultrametrik erläutert:
Wenn ich nun eine Entfernug bestimmen will, ergibt sich alles aus der Regel:
d(a,b) ≤ max{d(a,c), d(c,b)}
Sie nennt sich die Strikte Dreiecksungleichung und dabei ist d(a,b) einfach der Abstand von a zu b.
(normalerweise heißt es ja, dass d(a,b) ≤ d(a,c)
+ d(c,b) gilt, aber das ist für Langweiler
und bedeutet, dass ein Umweg über einen dritten Punkt keine Strecke spart. )
Das wirkt jetzt ein wenig konfus, aber wird gleich klarer. Aus der strikten Dreiecksungleichung folgt nämlich, dass
alle Dreiecke gleichschenklig sind.
Wenn man zum Ziel eine Strecke von d zurücklegen muss, dann heißt das, das wir durch einen Umweg über einen dritten Punkt nur eine weitere Strecke hinzubekommen, aber trotzdem noch eine der Länge d überwinden müssen.
Der Beweis hierfür liegt unter dem Spoilertag und ist eigentlich nur etwas für Mathematiker oder Leute, die gerne einen kleinen Knoten im HIrn haben wollen...
Es sei d(x,y)<d(y,z)
dann gilt:
d(x,y)<d(y,z) =< max{ d(x,y), d(y,z)}
=max{
max{ d(x,y), d(y,z)},
d(x,z) }, nach obiger strenger Dreiecksungleichung
=max{ d(x,y), d(x,z) }
daraus folgen zwei Dinge:
- d(x,y) =< d(x,z)
- d(y,z) =< d(x,z)
daraus folgt dass:
d(x,z) =< max{ d(x,y), d(y,z)}
=<d(x,z)
also Gleichheit und die Gleichschenkligkeit aller Dreiecke mit zwei unterschiedl. langen Seiten (wobei die längere Seite die Schenkellängen bestimmt)
Diese Aussage lässt sich auch mit Worten formulieren.
Der weiter vom Ursprung entfernte Ort gibt die Entfernung zu einem näher am Ursprung liegenden Ort an.
Als Regelbeispiel formuliert ergibt das:
Möchte ich also von a nach b, dann schaue ich mir die Entfernungen zum Referenzpunkt an und stelle fest, dass b mit 4 Einheiten echt weiter weg ist als a mit 3. Also brauche ich 4 Einheiten um direkt von a nach b zu gelangen.
Interessant wird es, wenn man sich die Punkte d, e, f, g ansieht.
Um hier eine Entfernung angeben zu können, habe ich ihnen zweite und dritte Werte gegeben.
Ich habe sozusagen eine weitere Karte für alle Punkte der Entfernung 6 gezeichnet. Es handelt sich also um eine Karte in der Karte.
Will ich von e nach f, also von einem Punkt der Entfernung 6 zu einem anderen, bekomme ich keine explizite Entfernungsangabe aus der Dreiecksungleichung von oben. Ich muss ihnen also willkürliche Werte zuweisen. (Die dürfen allerdings nicht größer sein als die Entfernung zum Ursprungsort eine Ebene höher, sonst verletze ich die Strikte Dreiecksungleichung)
Hier wird also ein Ort der Entfernung 6 zum neuen Ankerpunkt und es wird innerhalb der 6er GRuppe von dort aus "gemessen". Es muss aber kein Punkt mit einer Grundentfernung von 0 existieren, damit das alles klappt. er macht aber auch nichts kaputt.
Um einen Abstand zu messen vergleicht man die Entfernungangaben. Man wählt den ersten EIntrag, an dem sich die beiden Entfernungsangaben unterscheiden und wählt von den beiden Zahlen die größere.
Natürlich kann man das Spiel noch beliebig weiterspielen und beliebig tief geschachtelte Karten erstellen. So kann man auch neue Orte in die Landschaft setzen und in die "Nähe" bestimmter Orte legen.
Wenn ich nun wissen möchte, welche Orte alle näher als 4 Einheiten an einem Ort liegen, dann geht auch das ganz einfach:
Ist die hinterste Zahl (Grundentfernung) größer als 4?
ja, dann ist der Ort im Umkreis von 4 der einzige. (er liegt weiter als 4 vom nächsten Ursprung entfernt.)
nein, dann sind es alle Orte, die näher (oder gleich) als 4 am Referenzpunkt liegen/als Grundentfernung haben.
Diesen Schritt wiederholt man durch alle "Entfernungseben".
Sucht man den 4Einheiten Umkreis um 0, dann sind das die Orte {0,a,b}. Dieser Umkreis ist übrigens identisch mit dem 4Einheiten Umkreis von a und dem von b. (Jeder Punkt kann Mittelpunkt sein!
)
Alle diese Orte haben den echten Abstand 4 von unserem Ort, obwohl sie untereinander durchaus enger beisammen liegen können.
Die Abstände innerhalb dieses Umkreises sind kleiner als 4 (nicht als 8, wie bei einem normalen Kreis).
Hier kommt also das komische dieser Topologie zu Tage.
Noch ein Beispiel:
Setze ich einen Kreis mit Radius 3 um den Punkt g,
so liegt auf jeden Fall schon einmal f drin. Aber nicht e, da e einen Abstand von 4 zu g hat.
d und e als nächste Kandidaten sind aber 4 entfernt. Man sammelt also erst auf der letzten "Ebene" alle Punkte ein und wenn keiner mehr übrig bleibt, dann schaut man sich die nächste an, ob hier noch weitere innerhalb des Radius liegen.
Soll der Radius nun 5 betragen, so erhält man k
f,r=5={d,e,f,g,h}
Der richtige Spaß fängt nun an, wenn Spieler die Möglichkeit haben, Orte zu verschieben und aus einem Ort der Koordinaten 5/4/3/2, einen 4/4/3/2 oder gar einen 3/
3/3/2 zu machen, da sich nun die Nachbarschaften ganz radikal ändern.
sers,
Alex
P.S.
http://de.wikipedia.org/wiki/Ultrametrikhttp://chsemrau.de/studium/mathematik/ultrametric.pdf
